Brzina je prva izvedenica koordinate. Derivat iz fizike. Geometrijsko i fizičko značenje derivata
Fizičko značenje derivata. Struktura ispita iz matematike uključuje grupu zadataka za rešenje kojih je potrebno znanje i razumevanje fizičkog značenja derivatne. Konkretno, postoje zadaci u kojima je dan zakon kretanja određene točke (objekta), izražen jednadžbom i potrebno je pronaći njegovu brzinu u određenom trenutku vremena kretanja, odnosno vrijeme nakon kojeg će objekt steći određenu zadanu brzinu.Zadaci su vrlo jednostavni, rješavaju se u jednoj akciji. Dakle:
Neka je zakon kretanja materijalne tačke x (t) dat duž koordinatne osi, gdje je x koordinata pomične točke, t je vrijeme.
Brzina u određenom trenutku vremena je derivat vremenske koordinate. Ovo je mehaničko značenje derivata.
Slično tome, ubrzanje je derivat brzine s obzirom na vrijeme:
Prema tome, fizičko značenje derivata je brzina. To mogu biti brzina kretanja, brzina promjene bilo kojeg procesa (na primjer, rast bakterija), brzina završetka rada (i tako dalje, postoje mnogi primijenjeni problemi).
Pored toga, morate znati tablicu derivata (morate to znati kao i tablicu množenja) i pravila diferencijacije. Konkretno, za rješavanje zadanih problema potrebno je znanje o prvih šest derivata (vidjeti tablicu):
Razmotrite zadatke:
x (t) \u003d t 2 - 7t - 20
gdje je x t vrijeme u sekundama, mjereno od početka kretanja. Pronađite njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u trenutku t \u003d 5 s.
Fizičko značenje derivata je brzina (brzina kretanja, brzina promjene procesa, brzina rada, itd.)
Pronalazimo zakon promjene brzine: v (t) \u003d x ′ (t) \u003d 2t - 7 m / s.
Pri t \u003d 5 imamo:
Odgovor: 3
Odlučite sami:
Materijalna tačka se pomiče pravocrtno prema zakonu x (t) \u003d 6t 2 - 48t + 17, gdje x - udaljenost od referentne točke u metrima, t - vrijeme u sekundama, mjereno od početka pokreta. Pronađite njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u trenutku t \u003d 9 s.
Materijalna tačka se pomiče pravocrtno prema zakonu x (t) \u003d 0,5t 3 - 3t 2 + 2t, gdje xt - vrijeme u sekundama, mjereno od početka pokreta. Pronađite njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u vremenu t \u003d 6 s.
Materijalna tačka se pomiče pravocrtno prema zakonu
x (t) \u003d –t 4 + 6t 3 + 5t + 23
gde x - udaljenost od referentne točke u metrima,t - vrijeme u sekundama, mjereno od početka pokreta. Pronađite njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u trenutku t \u003d 3 s.
Materijalna tačka se pomiče pravocrtno prema zakonu
x (t) \u003d (1/6) t 2 + 5t + 28
gdje je x udaljenost od referentne točke u metrima, t vrijeme u sekundama, mjereno od početka kretanja. U kojoj je sekundi (u sekundi) bila njegova brzina jednaka 6 m / s?
Pronađite zakon promjene brzine:
Da bi se pronašlo u kojem trenutkut brzina je bila 3 m / s, potrebno je riješiti jednadžbu:
Odgovor: 3
Odlučite sami:
Materijalna tačka se pomiče pravocrtno prema zakonu x (t) \u003d t 2 - 13t + 23, pri čemu x - udaljenost od referentne točke u metrima, t - vrijeme u sekundama, mjereno od početka pokreta. U kojoj je sekundi (u sekundi) bila njegova brzina jednaka 3 m / s?
Materijalna tačka se pomiče pravocrtno prema zakonu
x (t) \u003d (1/3) t 3 - 3t 2 - 5t + 3
gde x - udaljenost od referentne točke u metrima, t - vrijeme u sekundama, mjereno od početka pokreta. U kojoj je sekundi (u sekundi) bila njegova brzina jednaka 2 m / s?
Primjećujem da se usredotočiti samo na ovu vrstu zadataka na ispitu. Mogu sasvim neočekivano uvesti suprotne predstavljene zadatke. Kada je dan zakon promjene brzine i postavljat će se pitanje pronalaženja zakona kretanja.
Savjet: u ovom je slučaju potrebno pronaći integral funkcije brzine (ovo je ujedno i korak u jednom koraku). Ako želite pronaći prijeđenu udaljenost za određeno vrijeme, tada morate zamijeniti vrijeme u rezultirajućoj jednadžbi i izračunati udaljenost. Ipak, analiziraćemo i takve zadatke, ne propustite!Sretno vam!
S poštovanjem, Aleksandar Krutitsky.
P.S: Bio bih vam zahvalan ako razgovarate o web stranici na društvenim mrežama.
Algebra je velikodušna. Često daje više nego što se traži.
J. Dalamber
Interdisciplinarna komunikacija je didaktičko stanje i sredstvo duboke i sveobuhvatne asimilacije osnova znanosti u školi.
Uz to, pomažu povećanju naučnog nivoa znanja učenika, razvoju logičkog razmišljanja i njihovim kreativnim sposobnostima. Primjena interdisciplinarnih veza uklanja dupliranje u proučavanju gradiva, štedi vrijeme i stvara povoljne uvjete za formiranje općih obrazovnih vještina učenika.
Uspostavljanje međupredmetnih komunikacija u nastavi fizike povećava efikasnost politehnike i praktične orijentacije obrazovanja.
U nastavi matematike vrlo je važna motivacijska strana. Učenici bolje razumiju matematički problem ako se javlja kao da im je pred očima, formuliran je nakon razmatranja nekih fizičkih pojava ili tehničkih problema.
Bez obzira koliko učitelj kaže o ulozi prakse u napretku matematike i važnosti matematike u proučavanju fizike, razvoju tehnologije, ali ako ne pokaže kako fizika utječe na razvoj matematike i kako matematika pomaže praksi u rješavanju njenih problema, tada će se primijeniti razvoj materijalističkog svjetonazora ozbiljnu štetu. Ali kako bismo pokazali kako matematika pomaže u rješavanju njenih problema, potrebni su nam zadaci koji nisu izumljeni u metodološke svrhe, ali koji se zapravo pojavljuju na različitim poljima praktične ljudske aktivnosti
Istorijske informacije
Diferencijalno računanje stvorili su Newton i Leibniz krajem 17. veka na osnovu dva zadatka:
- pronalaženje tangente na proizvoljnoj liniji;
- o pronalaženju brzine proizvoljnim zakonom kretanja.
Ranije je pojam derivata pronađen u radovima italijanskog matematičara Nicola Tartaglia (oko 1500. - 1557.) - tokom ispitivanja pitanja ugla nagiba pištolja pojavila se tangenta, koja osigurava najdulji domet projektila.
U 17. stoljeću, na osnovu učenja G. Galilea o kretanju, aktivno se razvio kinematski koncept derivata.
Cijeli traktat o ulozi derivata u matematici posvećen je poznatom naučniku Galileu Galilei. Različita izlaganja počela su se naći u radovima Descartesa, francuskog matematičara Robervala i engleskog naučnika L. Gregoryja. Veliki doprinos u istraživanju diferencijalnog proračuna dali su Lopital, Bernoulli, Lagrange, Euler, Gauss.
Neke primjene derivata u fizici
Derivat- osnovni koncept diferencijalnog proračuna, koji se karakterizira brzina promjene funkcije.
Određuje kao granica omjera prirasta funkcije prema povećanju njenog argumenta kad argument teži povećanju argumenta na nulu, ako takva granica postoji.
Na ovaj način 
Stoga se izračunava izvedenica funkcije f (x) na tački x 0 po definiciji trebate:
Razmotrite nekoliko fizičkih problema za čije rješenje se koristi ova šema.
Problem trenutne brzine. Mehaničko značenje derivata
Podsjetite kako je određena brzina kretanja. Materijalna tačka kreće se po koordinatnoj liniji. Koordinata x ove točke je poznata funkcija x (t) vreme t. Izvjesno vrijeme od t 0 prije t 0 + točka kretanja je jednaka x (t 0 +)
– x (t 0) - a njegova prosječna brzina je sljedeća: 
.
Obično je priroda pokreta takva da se, pri maloj, prosječna brzina praktično ne mijenja, tj. kretanje s visokim stupnjem tačnosti može se smatrati ujednačenim. Drugim riječima, vrijednost prosječne brzine naginje nekoj dobro definiranoj vrijednosti, koja se naziva trenutačna brzina v (t 0) materijalna tačka u vremenu t 0.
Dakle 
Ali po definiciji 
Stoga se vjeruje da je momentalna brzina odjednom t 0
Argumentirajući na sličan način, dobivamo da je derivat brzine s obzirom na vrijeme ubrzanje, tj.
Problem toplotnog kapaciteta tijela
Tako da temperatura tijela težine 1 g raste od 0 stepeni do t stupnjeva, tijelo treba prijaviti određenu količinu topline P. Znači Ppostoji temperaturna funkcija t, do kojeg se tijelo zagrijava: Q \u003d Q (t). Pustite da se telesna temperatura poveća sa t 0 prije t.Količina potrošnje topline za ovo grijanje jednaka je Omjer topline koja je potrebna u prosjeku za zagrijavanje tijela za 1 stupanj kad se temperatura promijeni
stepeni. Taj se omjer naziva prosječni toplinski kapacitet određenog tijela i označava se sa od uda.
Jer Budući da prosječni toplinski kapacitet ne daje predstavu o toplinskom kapacitetu za bilo koju temperaturu T, uvodi se koncept toplinskog kapaciteta na određenoj temperaturi. t 0 (u ovom trenutku t 0).
Kapacitet topline na temperaturi t 0 (u određenoj točki) naziva se granica
Problem linearne gustine štapa
Razmislite o heterogenom štapu.
Za takav štap postavlja se pitanje brzine promjene mase ovisno o njegovoj duljini.
Prosječna linearna gustina 
masa štapa je funkcija njegove dužine x.
Stoga se linearna gustoća nehomogenog štapa u određenoj tački određuje na sljedeći način:
Razmatrajući takve probleme, može se dobiti slični zaključci o mnogim fizičkim procesima. Neke od njih date su u tabeli.
Funkcija |
Formula |
Zaključak |
| m (t) je ovisnost mase potrošenog goriva od vremena. |  |
Derivat masa tokom vremena je li tu brzina potrošnja goriva. |
| T (t) je ovisnost temperature grijanog tijela o vremenu. |  |
Derivat temperatura tokom vremena je li tu brzina grejanje karoserije. |
| m (t) je vremenska ovisnost mase tijekom raspada radioaktivne tvari. |  |
Derivat masa radioaktivne tvari tokom vremenaje li tu brzina radioaktivno propadanje. |
| q (t) je vremenska ovisnost količine električne energije koja prolazi kroz kondukter |  |
Derivat količina električne energije tokom vremena je li tu jačina struje. |
| A (t) - zavisnost rada od vremena |  |
Derivat raditi na vrijeme je li tu snage. |
Praktične vježbe:
Projektil koji leti iz pištolja kreće se po zakonu x (t) \u003d - 4t 2 + 13t (m). Pronađite brzinu projektila na kraju 3 sekunde.
Količina električne energije koja prolazi kroz vodič, počevši od vremena t \u003d 0 c, dana je formulom q (t) \u003d 2t 2 + 3t + 1 (Cool) Pronađite trenutnu snagu na kraju pete sekunde.
Količina topline Q (J) potrebna za zagrijavanje 1 kg vode od 0 o do t o C određuje se formulom Q (t) \u003d t + 0,00002t 2 + 0,0000003t 3. Izračunajte toplotni kapacitet vode ako je t \u003d 100 o.
Tijelo se pomiče pravocrtno prema zakonu x (t) \u003d 3 + 2t + t 2 (m). Odredite njegovu brzinu i ubrzanje u vremenima 1 s i 3 s.
Pronađite jačinu sile F koja djeluje na točku mase m koja se kreće po zakonu x (t) \u003d t 2 - 4t 4 (m), pri t \u003d 3 s.
Tijelo čija je masa m \u003d 0,5 kg kreće se pravocrtno prema zakonu x (t) \u003d 2t 2 + t - 3 (m). Pronađite kinetičku energiju tijela 7 sekundi nakon početka pokreta.
Zaključak
Možete odrediti puno više problema iz tehnologije, za rješavanje kojih je potrebno pronaći i brzinu promjene odgovarajuće funkcije.
Na primjer, pronalaženje kutne brzine rotirajućeg tijela, linearnog koeficijenta ekspanzije tijela pri zagrijavanju, brzine kemijske reakcije u određenom trenutku.
S obzirom na obilje problema koji dovode do izračuna brzine promjene funkcije ili, u suprotnom, do izračuna granice ograničenja prirasta funkcije prema prirastu argumenta, kada se ona teži nuli, pokazalo se da je potrebno izdvojiti takvo ograničenje za proizvoljnu funkciju i proučiti njezina glavna svojstva. Zvalo se ovo ograničenje derivatna funkcija.
Dakle, na nizu primjera pokazali smo kako se opisuju različiti fizički procesi pomoću matematičkih problema, kako nam analiza rješenja omogućava izvlačenje zaključaka i predviđanja o tijeku procesa.
Naravno, broj primjera ove vrste je ogroman, a velik dio njih je prilično dostupan zainteresiranim studentima.
„Muzika može uzdignuti ili umiriti dušu,
Slikarstvo - ugodno za oko,
Poezija - pobuditi osjećaje
Filozofija je zadovoljenje potreba uma,
Inženjering je da poboljša materijalnu stranu života ljudi,
I matematika može postići sve ove ciljeve. "
Tako reče američki matematičar Maurice Kline.
Reference :
- Abramov A.N., Vilenkin N.Ya. i dr. Izabrana pitanja matematike. 10. razred. - M: Prosvetljenje, 1980.
- Vilenkin N. Y., Shibasov A.P.Iza stranica udžbenika iz matematike. - M: Obrazovanje, 1996.
- Dobrokhotova M.A., Safonov A.N.. Funkcija, njena granica i izvedenica. - M: Prosvetljenje, 1969.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M. Algebra i početak matematičke analize. - M: Obrazovanje, 2010.
- Kolosov A.A. Knjiga za vannastavno čitanje iz matematike. - M: Uchpedgiz, 1963.
- Fichtenholtz G.M. Osnove matematičke analize, 1. dio - M: Nauka, 1955.
- Yakovlev G.N. Matematika za tehničke škole. Algebra i početak analize, 1. dio - M: Nauka, 1987.
Rješavanje fizičkih problema ili primjera iz matematike potpuno je nemoguće bez poznavanja derivata i metoda za njegovo računanje. Derivat je jedan od najvažnijih koncepata matematičke analize. Odlučili smo ovaj članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Što je izvedenica, koje je njeno fizičko i geometrijsko značenje, kako izračunati derivat neke funkcije? Sva ova pitanja mogu se kombinirati u jedno: kako razumjeti izvedenicu?
Geometrijsko i fizičko značenje derivata
Neka postoji funkcija f (x) definirani u nekom intervalu (a, b) . Točke x i x0 pripadaju ovom intervalu. Kad se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika njegovih vrijednosti xx0 . Ta se razlika piše kao delta x i naziva se prirast argumenta. Promjena ili prirast funkcije naziva se razlika vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija derivata:
Derivat funkcije u točki je granica omjera prirasta funkcije u određenoj točki i prirasta argumenta kad se ona teži nuli.
Inače se može napisati ovako:
Šta je smisao pronalaska takve granice? A evo šta:
derivat funkcije u točki jednak je tangenti ugla između osi OX i tangente na grafu funkcije u ovoj točki.
Fizičko značenje derivata: vremenska izvedenica puta jednaka je brzini pravokutnog kretanja.
Zaista, još od školskih vremena, svi znaju da je brzina poseban način x \u003d f (t) i vreme t . Prosječna brzina u određenom vremenskom periodu:
Da biste saznali brzinu trenutka u vremenu t0 treba izračunati granicu:
Prvo pravilo: izdajemo konstantu
Konstanta se može izvesti za znak derivata. Štaviše - to treba učiniti. Kada rješavate matematičke primjere, napravite to pravilo - ako možete pojednostaviti izraz, budite sigurni da je pojednostavljen .
Primjer. Izračunavamo derivat:
Pravilo drugo: izvedenica od zbroja funkcija
Derivat zbroja dviju funkcija jednak je zbiru derivata ovih funkcija. Isto vrijedi i za derivat razlike funkcija.
Nećemo dati dokaz ove teoreme, već ćemo uzeti u obzir praktičan primjer.
Pronađite derivat funkcije:
Pravilo treće: Derivatni proizvod funkcija
Derivat produkta dvije različite funkcije izračunava se formulom:
Primjer: pronađite izvedenicu funkcije:
Rješenje: 
Ovdje je važno reći o izračunavanju derivata složenih funkcija. Derivat složene funkcije jednak je proizvodu derivata ove funkcije u odnosu na intermedijarni argument i derivate intermedijarnog argumenta u odnosu na nezavisnu varijablu.
U gornjem primjeru susrećemo izraz:
U ovom slučaju, intermedijarni argument je 8x do petog stepena. Da bismo izračunali derivat takvog izraza, prvo razmotrimo derivat vanjske funkcije u odnosu na intermedijarni argument, a potom množimo izvedenicu same intermedijarne funkcije u odnosu na nezavisnu varijablu.
Pravilo četvrto: Izvod kvocijenta dve funkcije
Formula za određivanje derivata kvocijenta dvije funkcije:
Pokušali smo razgovarati o derivatima za lutke od nule. Ova tema nije tako jednostavna kao što se čini, zato upozoravamo: zamke se često nalaze u primjerima, zato budite oprezni prilikom izračunavanja derivata.
Ako imate bilo kakvih pitanja o ovoj i drugim temama, možete se obratiti studentskom servisu. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam da riješite najtežu kontrolu i riješite se zadataka, čak i ako se nikada do sada niste uključili u izračun derivata.
Do sada smo pojam derivacije povezivali sa geometrijskim prikazom grafa funkcije. Međutim, bila bi gruba greška ograničiti ulogu koncepta derivacije na problemu određivanja nagiba tangente na zadanu krivulju. Još je naučno važniji zadatak izračunati brzinu promjene bilo koje količine f (t)mijenjajući se tijekom vremena t. Upravo je iz ove perspektive Newton pristupio diferencijalnom računu. Konkretno, Newton je pokušao da analizira fenomen brzine, smatrajući vreme i položaj pokretne čestice kao promenljive (prema Njutonovom izrazu, „tečno“). Kada se čestica kreće duž osi x, tada je njeno kretanje dobro definirano, jednom kada je funkcija x \u003d f (t)naznaku položaja čestice x u bilo kojem trenutku t. "Ravnomjerno kretanje" s konstantnom brzinom b duž osi x određeno je linearnom funkcijom x \u003d a + bt, gdje je a položaj čestice u početnom trenutku (za t \u003d 0).
Kretanje čestice na ravnini već je opisano pomoću dvije funkcije
x \u003d f (t), y \u003d g (t),
koji određuju njegove koordinate kao funkciju vremena. Konkretno * dvije linearne funkcije odgovaraju jednakom kretanju
x \u003d a + bt, y \u003d c + dt,
pri čemu su b i d dvije „komponente“ stalne brzine, a a i c su koordinate početnog položaja čestice (za t \u003d 0); putanja čestice je ravna linija čija jednadžba
(x - a) d - (y - s) b \u003d 0
dobijen eliminacijom t iz dva gornja odnosa.
Ako se čestica kreće u vertikalnoj ravnini x, y pod samo djelovanjem gravitacije, tada se njeno gibanje (to dokazuje u elementarnoj fizici) određuje s dvije jednačine
gde a, b, c, d su konstantne vrijednosti ovisno o stanju čestice u početnom trenutku, a g je ubrzanje gravitacije od približno 9,81 ako se vrijeme mjeri u sekundi i udaljenost je u metrima. Pravac kretanja dobiven eliminacijom t iz dvije dane jednadžbe je parabola
ako samo b ≠ 0; u suprotnom, put je segment vertikalne ose.
Ako se čestica prisiljava da se kreće duž određene krivulje (slično kao što se vlak kreće duž tračnica), tada se njeno kretanje može odrediti funkcijom s (t) (funkcija vremena t) jednakom dužini luka s izračunatoj duž ove krivulje od neke početne točke P 0 do položaja čestice u točki P u trenutku t. Na primjer, ako govorimo o jediničnom krugu x 2 + y 2 \u003d 1onda funkcija s \u003d ct na ovom krugu određuje jednoliko rotacijsko gibanje brzinom sa.
* Vježba. Nacrtajte putanje kretanja ravnina date jednadžbama: 1) x \u003d sin t, y \u003d cos t; 2) x \u003d sin 2t, y \u003d cos 3t; 3) x \u003d sin 2t, y \u003d 2 sin 3t; 4) u gore opisanom paraboličkom pokretu pretpostavite početni položaj čestice (pri t \u003d 0) na početku i pretpostavite b\u003e 0, d\u003e 0. Pronađite koordinate najviše točke na putu. Pronađite vrijednost vremena t i x koja odgovara sekundarnom sjecištu putanje s osi x.
Prvi cilj koji je Newton postavio sebi bio je pronaći brzinu čestice koja se kreće neujednačeno. Radi jednostavnosti smatramo kretanje čestice duž prave linije koja je definirana funkcijom x \u003d f (t). Ako bi kretanje bilo ujednačeno, tj. Odvijalo se konstantnom brzinom, tada se ta brzina može pronaći uzimanjem dvije točke u vremenu t i t1 i odgovarajućim položajima čestica f (t) i f (t 1) i stvaranje odnosa
Na primjer, ako se t mjeri u satima, a x u kilometrima, tada je u t 1 - t \u003d 1 razlika x 1 - x biti će broj pređenih kilometara u jednom satu i v - brzina (u kilometrima na sat) Kada kažu da je brzina konstantna, to samo znači da je razlika razlika
ne mijenja se pri bilo kojoj vrijednosti t i t 1. Ali ako je kretanje neujednačeno (koje se, na primjer, odvija slobodnim padom tijela, čija se brzina povećava kako pada), tada odnos (3) ne daje vrijednost brzine u vremenu t, već predstavlja ono što se obično naziva prosječnom brzinom u vremenskom intervalu od t do t 1. Da bi postigao brzinu u vremenu ttreba izračunati granicu prosječna brzina kad t 1 t Stoga, slijedeći Newton, definiramo brzinu kao što je ova:
Drugim riječima, brzina je derivat pređene udaljenosti (koordinate čestice na ravnoj liniji) u odnosu na vrijeme, ili "trenutna brzina promjene" puta u odnosu na vrijeme - za razliku od toga sredina brzina promjene, određena formulom (3).
Brzina promjene same brzine zvani ubrzanje. Ubrzanje je jednostavno izvedenica derivata; obično se označava f "(t) i naziva se drugi derivat funkcije f (t).
Ponekad je u problemu B9 iz USE matematike, umesto svima omiljenih grafova funkcije ili derivata, jednostavno data jednadžba udaljenosti od točke do izvora. Šta učiniti u ovom slučaju? Kako pronaći brzinu ili ubrzanje prema udaljenosti.
U stvari je sve jednostavno. Brzina je derivat udaljenosti, a ubrzanje je derivat brzine (ili, ekvivalentno, drugi derivat udaljenosti). U ovom kratkom videu uvjerit ćete se da takvi zadaci nisu riješeni ništa složenije od "klasičnog" B9.
Danas ćemo analizirati dva problema o fizičkom značenju derivata iz USE u matematici. Ti se zadaci nalaze u dijelu B i značajno se razlikuju od onih na koje je većina učenika navikla viđati se na ispitima i ispitima. Stvar je u tome što oni zahtijevaju razumijevanje fizičkog značenja derivativne funkcije. U ovim ćemo se problemima usredotočiti na funkcije koje izražavaju udaljenosti.
Ako je $ S \u003d x \\ lijevo (t \\ desno) $, tada $ v $ možemo izračunati na sljedeći način:
Ove su tri formule sve što će vam trebati da biste riješili takve primjere o fizičkom značenju derivata. Sjetite se samo da je $ v $ derivat udaljenosti, a ubrzanje je derivat brzine.
Pogledajmo kako to djeluje u rješavanju stvarnih problema.
Primer br. 1
gdje je $ x $ udaljenost od referentne točke u metrima, $ t $ je vrijeme u sekundama proteklo od početka kretanja. Pronađite brzinu točke (u m / s) u vremenu $ t \u003d 2c $.
To znači da imamo funkciju koja postavlja udaljenost i moramo izračunati brzinu u vremenu $ t \u003d 2c $. Drugim riječima, moramo pronaći $ v $, tj.
To je sve što smo trebali da saznamo iz stanja: prvo, kako izgleda funkcija, a drugo, šta se traži od nas.
Odlucimo. Prije svega, izračunavamo derivat:
\\ [(x) "\\ lijevo (t \\ desno) \u003d - \\ frac (1) (5) \\ cdot 5 ((t) ^ (4)) + 4 ((t) ^ (3)) - 3 (( t) ^ (2)) + 5 \\]
\\ [(x) "\\ lijevo (t \\ desno) \u003d - ((t) ^ (4)) + 4 ((t) ^ (3)) - 3 ((t) ^ (2)) + 5 \\]
Moramo pronaći derivat u tački 2. Zamenimo:
\\ [(x) "\\ lijevo (2 \\ desno) \u003d - ((2) ^ (4)) + 4 \\ cdot ((2) ^ (3)) - 3 \\ cdot ((2) ^ (2)) + 5 \u003d \\]
\[=-16+32-12+5=9\]
To je sve, našli smo konačan odgovor. Ukupno, brzina naše materijalne tačke u vremenu $ t \u003d 2c $ iznosit će 9 m / s.
Primer br. 2
Materijalna tačka kreće se po zakonu:
gdje je $ x $ udaljenost od referentne točke u metrima, $ t $ je vrijeme u sekundama, mjereno od početka kretanja. U kojoj je brzini njegova brzina bila jednaka 3 m / s?
Pogledajte, zadnji put od nas se tražilo da nađemo $ v $ u vremenu od 2 s, a ovog puta od nas se tražilo da pronađemo trenutak kada će ta brzina biti 3 m / s. Možemo reći da znamo konačnu vrijednost, a iz te konačne vrijednosti treba pronaći original.
Prije svega, opet tražimo derivat:
\\ [(x) "\\ lijevo (t \\ desno) \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot 3 ((t) ^ (2)) - 4 \\ cdot 2t + 19 \\]
\\ [(x) "\\ lijevo (t \\ desno) \u003d ((t) ^ (2)) - 8t + 19 \\]
Od nas se traži da nađemo u kojem će trenutku brzina biti 3 m / s. Sastavljamo i rješavamo jednadžbu da bismo pronašli fizičko značenje derivata:
\\ [(((t) ^ (2)) - 8t + 19 \u003d 3 \\]
\\ [(((t) ^ (2)) - 8t + 16 \u003d 0 \\]
\\ [(((\\ lijevo (t-4 \\ desno)) ^ (2)) \u003d 0 \\]
Dobiveni broj znači da će u vremenu 4 sa $ v $ materijalna točka koja se kreće prema gore opisanom zakonu biti točno 3 m / s.
Ključne točke
Zaključno, prijeđimo još jednom najvažniji trenutak današnjeg zadatka, naime, prema pravilu pretvaranja udaljenosti u brzinu i ubrzanje. Dakle, ako direktno opišemo zakon u problemu koji direktno označava udaljenost od materijalne točke do referentne točke, tada kroz ovu formulu možemo pronaći bilo kakvu trenutnu brzinu (ovo je samo izvedenica). Štaviše, možemo pronaći i ubrzanje. Ubrzanje je, zauzvrat, jednako derivaciji brzine, tj. drugi derivat udaljenosti. Ovakvi zadaci su prilično rijetki, pa ih danas nismo rastavljali. Ali ako vidite riječ "ubrzanje" u stanju, neka vas ne plaši, samo pronađite drugu izvedenicu.
Nadam se da će vam ova lekcija pomoći u pripremi za ispit iz matematike.
