Муніципальне бюджетне загальноосвітній заклад

середня загальноосвітня школа №34 з поглибленим вивченням окремих предметів

МАН, фізико-математична секція

«Геометричні побудови за допомогою циркуля і лінійки»

Виконала: учениця 7 «А» класу

Батищева Вікторія

Керівник: Колтівська В.В.

Воронеж, 2013

3. Побудова кута рівного даному.

П роведем довільну окружність з центром у вершині А даного кута (рис.3). Нехай В і С - точки перетину кола зі сторонами кута. Радіусом АВ проведемо окружність з центром в точці О-початковій точці даної променя. Точку перетину цієї окружності з даної променя позначимо З 1 . Опишемо коло з центром С   1 і Рис.3

радіусом ВС. Точка В 1 перетину побудованих кіл у зазначеній полуплоскости лежить на боці шуканого кута.

6. Побудова перпендикулярних прямих.

Проводимо коло з довільним радіусом r з центром в точці O рис.6. Окружність перетинає пряму в точках A і B.   З точок A і B проводимо окружності з радіусом AB. Нехай туга С - точка перетину цих кіл. Точки А і В ми отримали на першому кроці, при побудові окружності з довільним радіусом.

Шукана пряма проходить через точки С і О.

рис.6

відомі завдання

1.   завдання Брахмагупти

Побудувати вписаний чотирикутник по чотирьом його сторонам. Одне з рішень використовує окружність Аполлонія.   Вирішимо задачу Аполлонія, використовуючи аналогію між трехокружніком і трикутником. Як ми знаходимо коло, вписану в трикутник: будуємо точку перетину биссектрис, опускаємо з неї перпендикуляри на сторони трикутника, підстави перпендикулярів (точки перетину перпендикуляра зі стороною, на яку він опущений) і дають нам три точки, що лежать на шуканої окружності. Проводимо коло через ці три точки - рішення готове. Точно також ми вчинимо з завданням Аполлонія.

2. завдання Аполлонія

Побудувати за допомогою циркуля і лінійки коло, що стосується трьох даних кіл. За легендою, завдання сформульована Аполлонием Пергськім приблизно в 220 р. До н.е. е. в книзі «Торкання», яка була втрачена, але була відновлена \u200b\u200bв 1600 р Франсуа Виетом, «галльських Аполлонием», як його називали сучасники.

Якщо жодна із заданих кіл не лежить всередині іншого, то це завдання має 8 істотно різних рішень.

Побудова правильних багатокутників.

П

равильна (або рівносторонній ) трикутник   - це правильний багатокутникз трьома сторонами, перший з правильних багатокутників. Усебоку правильного трикутника рівні між собою, а всекути рівні 60 °. Щоб побудувати рівносторонній трикутник потрібно розділити окружність на 3 рівні частини. Для цього необхідно провести дугу радіусом R цього кола лише з одного кінця діаметра, отримаємо перше і друге ділення. Третє розподіл знаходиться на протилежному кінці діаметра. Поєднавши ці точки, отримаємо рівносторонній трикутник.

правильний шестикутник   можна, можливопобудувати за допомогою циркуля і лінійки. нижченаведено метод побудови   через розподіл кола на 6 частин. Використовуємо рівність сторін правильного шестикутника радіусу описаного кола. З протилежних кінців одного з діаметрів кола описуємо дуги радіусом R. Точки перетину цих дуг із заданою окружністю розділять її на 6 рівних частин. Послідовно з'єднавши знайдені точки, отримують правильний шестикутник.

Побудова правильного п'ятикутника.

П
равильна п'ятикутник може бутипобудований за допомогою циркуля і лінійки, або вписуванням його в задануокружність, або побудовою на основі заданої сторони. Цей процес описаний Евклідомв його «Засадах» близько 300 року до н. е.

Ось один з методів побудови правильного п'ятикутника в заданій окружності:

Побудуйте коло, в яку буде вписаний п'ятикутник і позначте її центр якO . (Це зелена окружність на схемі справа).

Виберіть на колі точкуA , Яка буде однією з вершин п'ятикутника. Побудуйте пряму черезO іA .

Побудуйте пряму перпендикулярно прямоїOA , Що проходить через точкуO . Позначте одне її перетин з окружністю, як точкуB .

побудуйте точкуC посередині міжO іB .

C через точкуA . Позначте її перетин з прямоюOB (Всередині первісної окружності) як точкуD .

Проведіть окружність з центром вA через точку D, перетин даної окружності з оригінальною (зеленої колом) позначте як точкиE іF .

Проведіть окружність з центром вE через точкуA G .

Проведіть окружність з центром вF через точкуA . Позначте її інше перетин з первісної окружністю як точкуH .

Побудуйте правильний п'ятикутникAEGHF .

нерозв'язні завдання

Наступні три завдання на побудову були поставлені ще в античності:

Трисекция кута   - розбити довільний кут на три рівні частини.

Інакше кажучи, необхідно побудувати трісектріси кута - промені, що ділять кут на три рівні частини. П. Л. Ванцель довів в 1837 році, що завдання можна вирішити тільки тоді, коли наприклад, трисекція здійсненна для кутів α \u003d 360 ° / n за умови, що ціле число n не ділиться на 3. Тим не менш, в пресі час від часу публікуються (невірні) способи здійснення трисекции кута циркулем і лінійкою.

подвоєння куба - класична антична завдання на побудову циркулем і лінійкою ребра куба, обсяг якого вдвічі більше обсягу заданого куба.

У сучасних позначеннях, завдання зводиться до вирішення рівняння.   Все зводиться до проблеми побудови відрізка довжиною. П. Ванцель довів в 1837 році, що це завдання не може бути вирішена за допомогою циркуля і лінійки.

квадратура кола   - завдання, що полягає в знаходженні побудови за допомогою циркуля і лінійки квадрата, рівновеликого за площею даному колу.

Як відомо, за допомогою циркуля і лінійки можна виконати всі 4 арифметичні дії і витяг квадратного кореня; звідси випливає, що квадратура кола можлива в тому і тільки в тому випадку, якщо за допомогою кінцевого числа таких дій можна побудувати відрізок довжини π. Таким чином, нерозв'язність цієї задачі випливає з неалгебраічності (трансцендентності) числа π, яка була доведена в 1882 році Ліндеманн.

Інша відома нерозв'язна за допомогою циркуля і лінійки завдання -побудова трикутника за трьома заданим довжинах биссектрис .

Причому це завдання залишається нерозв'язною навіть при наявності трісектора.

Тільки в XIX столітті було доведено, що всі три завдання неможливо розв'язати при використанні тільки циркуля і лінійки. Питання можливості побудови повністю вирішене алгебраїчними методами, заснованими на теорії Галуа.

  А ЗНАЄТЕ ВИ, ЩО ...

  (З історії геометричних побудов)

Колись в побудову правильних багатокутників вкладали містичний сенс.

Так, піфагорійці, послідовники релігійно-філософського вчення, заснованого Піфагором, і жили в стародавній Греції (VI-I V   ст. до н. е.), взяли в якості знака свого союзу зірчастий багатокутник, утворений діагоналями правильного п'ятикутника.

Правила суворого геометричної побудови деяких правильних багатокутників викладені в книзі «Начала» давньогрецького математика Евкліда, що жив вIII в. до н.е. Для виконання цих побудов Евклід пропонував користуватися тільки лінійкою і циркулем, який в той час був без шарнірного пристрою з'єднання ніжок (таке обмеження в інструментах було непорушною вимогою античної математики).

Правильні багатокутники знайшли широке застосування і в античній астрономії. Якщо Евкліда побудова цих фігур цікавило з точки зору математики, то для давньогрецького астронома Клавдія Птолемея (близько 90 - 160 р. Н.е..) Воно виявилося необхідним як допоміжний засіб при вирішенні астрономічних задач. Так, в 1-ій книзі «Альмагест» вся десята глава присвячена побудові правильних п'яти- і десятіугольнік.

Однак крім суто наукових праць, побудова правильних багатокутників було невід'ємною частиною книг для будівельників, ремісників, художників. Уміння зображати ці фігури здавна було потрібно і в архітектурі, і в ювелірній справі, і в образотворчому мистецтві.

У «Десяти книгах про архітектуру» римського архітектора Вітрувія (жив приблизно в 63 -14 рр. До н. Е.) Говориться, що міські стіни повинні мати в плані вид правильного багатокутника, а вежі фортеці «слід робити круглими або багатокутними, бо чотирикутник швидше руйнується облоговими знаряддями ».

Планування міст дуже цікавила Вітрувія, який вважав, що потрібно спланувати вулиці так, щоб уздовж них не дулі основні вітри. Передбачалося, що таких вітрів вісім і що вони дмуть в певних напрямках.

В епоху Відродження побудова правильних багатокутників, і зокрема п'ятикутника, представляло не просту математичну гру, а було необхідною передумовою для побудови фортець.

Правильний шестикутник з'явився предметом спеціального дослідження великого німецького астронома і математика Йоганна Кеплера (1571-1630), про який він розповідає у своїй книзі «Новорічний подарунок, або про шестикутні сніжинки». Міркував про причини того, чому сніжинки мають шестикутну форму, він зазначає, зокрема, наступне: «... площину можна покрити без зазорів лише наступними фігурами: рівносторонніми трикутниками, квадратами і правильними шестикутниками. Серед цих фігур правильний шестикутник покриває найбільшу площу »

0дним з найбільш відомих вчених, що займалися геометричними побудовами, був великий німецький художник і математик Альбрехт Дюрер (1471 -1528), який присвятив їм значну частину своєї книги «Керівництва ...». Він запропонував правила побудови правильних багатокутників з 3. 4, 5 ... 16-ю сторонами. Методи розподілу окружності, запропоновані Дюрером, не універсальні, в кожному конкретному випадку використовується індивідуальний прийом.

Дюрер застосовував методи побудови правильних багатокутників в художній практиці, наприклад, при створенні різного роду орнаментів та візерунків для паркету. Начерки таких візерунків були зроблені ним під час поїздки в Нідерланди, де паркетні підлоги зустрічалися в багатьох будинках.

Дюрер становив орнаменти з правильних багатокутників, які з'єднані в кільця (кільця з шести рівносторонніх трикутників, чотирьох чотирикутників, трьох або шести шестикутників, чотирнадцяти семикутник, чотирьох восьмиугольников).

  висновок

Отже,геометричні побудови   - це спосіб вирішення завдання, при якому відповідь отримують графічним шляхом. Побудови виконують креслярськими інструментами при максимальній точності та акуратності роботи, так як від цього залежить правильність рішення.

Завдяки цій роботі я познайомилася з історією виникнення циркуля, докладніше познайомилася з правилами виконання геометричних побудов, отримала нові знання і застосувала їх на практиці.
  Рішення задач на побудову циркулем і лінійкою - корисне проведення часу, що дозволяє по-новому подивитися на відомі властивості геометричних фігур і їх елементів.У даній роботі розглянуті найбільш актуальні завдання, пов'язані з геометричними побудовами за допомогою циркуля і лінійки. Розглянуто основні завдання та дані їх вирішення. Наведені завдання мають значний практичний інтерес, закріплюють отримані знання з геометрії і можуть використовуватися для практичних робіт.
  Таким чином, мета роботи досягнута, поставлені завдання виконані.

I. Вступ.

II. Головна частина:

Побудова відрізка, рівного добутку двох інших за допомогою циркуля і лінійки:

1. перший спосіб побудови;

   другий спосіб побудови;

   третій спосіб побудови,

d) четвертий спосіб побудови.

2) Побудова відрізка, рівного відношенню двох інших за допомогою циркуля і лінійки:

перший спосіб побудови;

другий спосіб побудови.

Висновок.

Прикладна програма.

Вступ

Геометричні побудови, або теорія геометричних побудов - розділ геометрії, де вивчають питання і методи побудови геометричних фігур, використовуючи ті чи інші елементи побудови. Геометричні побудови вивчаються як в геометрії Евкліда, так і в інших геометрії, як на площині, так і в просторі. Класичними інструментами побудови є циркуль і лінійка (одностороння математична), однак, існують побудови іншими інструментами: тільки одним циркулем, тільки однієї лінійкою, якщо на площині накреслена коло і її центр, тільки однієї лінійкою з паралельними краями і.т.д.

Всі завдання на побудову спираються на постулати побудови, тобто на найпростіші елементарні завдання на побудову, і завдання вважається вирішеною, якщо вона зведена до кінцевого числа цих найпростіших завдань-постулатів.

Природно, кожен інструмент має свою конструктивну силу - свій набір постулатів. Так, відомо, що розділити відрізок, користуючись тільки однією лінійкою, на дві рівні частини не можна, а користуючись циркулем, можна.

Мистецтво побудови геометричних фігур за допомогою циркуля і лінійки було у високому ступені розвинене в стародавній Греції. Одна з найважчих завдань на побудову, яку вже тоді вміли виконати, - побудова кола, що стосується трьох даних кіл.

У школі вивчають ряд найпростіших побудов циркулем і лінійкою (односторонньої без поділів): побудова прямої, що проходить через задану точку і перпендикулярної або паралельної даній прямій; поділнавпіл заданого кута, розподіл відрізка на кілька рівних частин, використовуючи теорему Фалеса (по суті справи - розподіл відрізка на натуральне число); побудова відрізка більшого даного в ціле число раз (по суті -умноженіе відрізка на натуральне число). Однак, нами ніде не зустрічалася завдання, де треба було б за допомогою циркуля і лінійки помножити відрізок на відрізок, тобто побудувати відрізок, що дорівнює добутку двох даних відрізків, або розподіл відрізка на відрізок, тобто побудувати відрізок, рівний відношенню двох інших відрізків. Нам здалася дана проблема дуже цікавою, і ми вирішили її досліджувати, спробувати знайти рішення і можливість застосування знайденого способу розв'язання до вирішення інших завдань, наприклад, в математиці і фізиці.

При вирішенні завдань на побудову традиційна методика рекомендує нам чотири етапи: аналіз, побудова, доказ і дослідження. Однак, зазначена схема вирішення завдань на побудова вважається вельми академічною, і для її здійснення потрібно багато часу, тому часто окремі етапи традиційної схеми виконання завдання опускаються, наприклад, етапи докази, дослідження. У своїй роботі по можливості ми використовували всі чотири етапи, та й то тільки там, де була в цьому необхідність і доцільність.

І останнє: знайдений нами метод побудови вищезгаданих відрізків передбачає використання, крім циркуля і лінійки, довільно обраного одиничного відрізка. Введення одиничного відрізка диктується ще й тим, що він необхідний хоча б для того, щоб підтвердити справедливість знайденого нами методу знаходження відрізка на конкретних приватних прикладах.

ЗАГАЛЬНА ПРОБЛЕМА І

За допомогою циркуля і лінійки побудувати відрізок, що дорівнює добутку двох інших відрізків.

Примітка:

передбачається:

Лінійка - одностороння, без поділів.

Заданий відрізок одиничної довжини.

Дослідження.

1.Рассмотрім прямі y \u003d 2x-2 + 2 і y \u003d 3x-3 2 і спробуємо знайти координати точки перетину цих прямих геометричним і аналітичним методами:

а
) Геометричний метод ( рис.1) Показав, що координати точки А перетину цих прямих: «5» -абсцісса, «6» - ордината, тобто АЕ \u003d 5, АТ \u003d 6.

б) аналітичний метод даний результат підтверджує, тобто А (5; 6) - точка перетину прямих.

Дійсно, вирішивши систему рівнянь

y \u003d 6 А (5; 6) - точка перетину прямих.

2.Рассмотрім відрізок: ОВ \u003d 2, ОС \u003d 3, АТ \u003d 6, АЕ \u003d 5.

Можна припустити, що АТ \u003d ОВ × ОС, тому що 6 \u003d 2 × 3; АЕ \u003d ОВ + ОС, тому що 5 \u003d 2 + 3, де

2 \u003d ОВ-кутовий коефіцієнт рівняння y \u003d 2x-2 2, 3 \u003d ОС - кутовий коефіцієнт рівняння y \u003d 3x-3 2, АТ \u003d у А, ОД \u003d х А - координати точки А перетину наших прямих.

Наше припущення перевіримо на загальному прикладі аналітичним методом, тобто на рівняннях прямих y \u003d mx-m 2 і y \u003d nx-n 2 (де m ≠ n) перевіримо, що точка перетину прямих має координати:

y \u003d nx-n 2 nx-n 2 \u003d mx-m 2 x \u003d (m 2 -n 2) ÷ (mn) \u003d m + n і y \u003d mx-m 2 \u003d m (m + n) -m 2 \u003d mn

координати точки А перетину прямих, де m і n - кутові коефіцієнти цих прямих, ч.т.д.

3. Залишилося знайти метод побудови відрізка. АТ \u003d ОВ × ОС \u003d m ∙ n \u003d y А - ординати точки А перетину прямих У \u003d mx-m 2 і У \u003d nx-n 2, де m ≠ n і m \u003d OB, n \u003d OC- відрізки, відкладені на осі ох. А для цього ми повинні знайти метод побудови прямих У \u003d mx-m 2 і У \u003d nx-n 2. з міркувань видно, що ці прямі повинні пройти через точки В і С відрізків OB \u003d m і OC \u003d n, які належать осі ох.

Зауваження 1.Вищеназвані позначення відрізків відповідають рис.1 «Додатки»

перший спосіб   побудови відрізка AD \u003d mn, де m\u003e 1 од., n\u003e 1 од., m ≠ n.

одиничний інтервал

довільний відрізок, m\u003e 1eд., n\u003e 1eд.

n довільний відрізок, де m ≠ n.

побудова (Рис.2)

Проведемо пряму ОХ

На ОХ відкладемо ОА 1 = m

На ОХ відкладемо А 1 С 1 \u003d 1 од

Побудуємо З 1 В 1 \u003d m, де З 1 В 1 ┴ ОХ

Проведемо пряму А 1 В 1, рівняння якої y \u003d mx-m 2 в координатних осях ХОУ (масштаб на осях однаковий).

Примітка:

рис.2

Зауваження 1.

Дійсно, тангенс кута нахилу цієї прямої tgά 1 \u003d С 1 В 1 / А 1 С 1 \u003d m / 1ед \u003d m, яка проходить через точку А 1 відрізка ОА 1 \u003d m.

Анологично будуємо пряму, рівняння якої У \u003d nx-n 2.

6. На осі ОХ відкладемо ОА 2 \u003d n (точка А 2 випадково збіглася з точкою С1).

7.На осі ОХ відкладемо А 2 С 2 \u003d 1 од.

8.Строім В 2 С 2 \u003d n, де В 2 С 2 ┴ ОХ.

9.Проведём пряму В 2 А 2, рівняння якої У \u003d nx-n 2.

Зауваження 2.Дійсно, тангенс нахилу цієї прямої tg ά 2 \u003d C 2 B 2 / A 2 C 2 \u003d n / 1ед \u003d n, яка проходить через т. А 2 відрізка ОА 2 \u003d n.

10. Отримали т.А (m + n; mn) - точку перетину прямих У \u003d mx-m 2 і У \u003d nx-n 2

11. Проведемо АТ, перпендикулярну ох, де Д належить осі ох.

12. Відрізок АТ \u003d mn (ордината т. А), тобто шуканий відрізок.

Зауваження 3.а) дійсно, якщо в нашому прикладі, n \u003d 4ед., m \u003d 3 од., то повинно бути АТ \u003d mn \u003d 3ед. ∙ 4ед. \u003d 12ед. У нас так і вийшло: АТ \u003d 12ед .; б) пряма В 1 В 2 в цьому побудові не використовувалася. В В - теж.

Існує ще, принаймні, три різні способи побудови відрізка АТ \u003d mn.

другий спосіб   побудови відрізка АТ \u003dmn, деm\u003e 1ед,n\u003e 1ед,m   іn-будь-.

аналіз

Аналіз раніше побудованого креслення (рис.2), де за допомогою знайденого способу побудови прямих У \u003d mx-m 2 і У \u003d nx-n 2 знайшли т.А (m + n; mn) (це перший спосіб), підказує, що т.А (m + n; mn) можна знайти побудовою будь-який з цих прямих (У \u003d mx-m 2 або У \u003d nx-n 2) і перпендикуляра АТ, де АТ - перпендикуляр до ОХ, АТ \u003d mn, Д належить осі ОХ. Тоді шукана точка А (m + n; mn) є точкою перетину будь-який з цих прямих і перпендикуляра АТ. Досить знайти кути нахилу цих прямих, тангенси яких, згідно кутовим коефіцієнтам, рівні m і n, тобто tg ά 1 \u003d m і tg ά 2 \u003d n. З огляду на, що tg ά 1 \u003d m / 1ед \u003d m і tg ά 2 \u003d n / 1ед \u003d n, де 1ед-одиничний інтервал, можна легко побудувати прямі, рівняння яких У \u003d mx-m 2 і У \u003d nx-n 2.

одиничний інтервал

n n\u003e 1 од., m і n-будь-які числа.

П

остроеніі (Рис.3)

рис.3

1.Проведём пряму ОХ.

2.На осі ОХ відкладаємо відрізок ОА 1 \u003d m.

3. На осі ОХ відкладемо відрізок А 1 Д \u003d n.

4. На осі ОХ відкладемо відрізок А 1 С 1 \u003d 1 од.

5.Строім З 1 В 1 \u003d m, де З 1 В 1 ┴ ОХ.

6.Проведём пряму А1В1, рівняння якої У \u003d mx-m2, в координатних осях ХОУ (масштаб на осях однаковий).

7.Востанавліваем перпендикуляр до ОХ в точці D.

8.Получаем точку А (m + n; mn) - точку перетину прямої У \u003d mx-m2 і перпендикуляра AD

9.Отрезок AD \u003d mn, тобто шуканий відрізок.

висновок:Цей другий спосіб універсальніше першого способу, так як дозволяє знайти точу А (m + n; mn) і тоді, коли m \u003d n\u003e 1 од., Тоді координати цієї точки А (2m; m 2) і AD \u003d m 2.

Іншими словами цей метод дозволяє знайти відрізок, рівний квадрату даного, довжина якого більше 1ед.

зауваження:   Дійсно, якщо в нашому прикладі m \u003d 3ед., N \u003d 5 од., То повинно бути AD \u003d mn \u003d 3ед. × 5 од. \u003d 15ЕД. У нас так і вийшло: AD \u003d 15ЕД.

третій спосіб   побудови відрізкаAD= mn, деm\u003e 1ед,n\u003e 1ед іm≠ n.

Використовуючи малюнок №2, проведемо штриховий лінією пряму В 1 В 2 до перетину з ОХ в точці Е € ОХ, і пряму В 1 В ┴ В 2 С 2, тоді

В 1 В \u003d С 1 С 2 \u003d ОС 2 -ОС 1 \u003d (n + 1 од.) - (m + 1 од) \u003d nm, а В2 У \u003d В 2 С 2 -В 1 С 1 \u003d mn \u003d\u003e У 1 В \u003d В 2 В \u003d\u003e ΔВ 1 ВВ 2 - рівнобедрений, прямокутний\u003e ΔЕС 1 В 1 - рівнобедрений, прямокутний \u003d\u003e ά \u003d 45º

Оскільки ОС 1 \u003d m + 1 од., А ЄС 1 \u003d В 1 С 1 \u003d m, то ОЕ \u003d ОС 1 -ЄС 1 \u003d m + 1ед.-m \u003d 1 од.

З міркувань випливає, що точки В 1 і В 2 можна знайти по-іншому, тому що вони є точками перетину прямої ЕВ 1, проведеної під кутом ά \u003d 45º до осі ОХ і перпендикулярів до ОХ: В 1 С 1 і В 2 С 2, а ОЕ \u003d 1ед.Дальше, використовуючи вже попередні методи матимемо наступний спосіб побудови.

Одиничний інтервал.

n n\u003e 1 од., і m ≠ n.

Побудова (Рис.4)

1.Проведём пряму ОХ.

7.Отложім ОА 2 \u003d n, де А 2 € ОХ.

8.Отложім А 2 С 2 \u003d 1 од., Де С 2 € ОХ.

9.Восстановім перпендикуляр З 2 В 2 до осі ОХ в точці С 2, де В 2 - точка перетину перпендикуляра з прямою ЕВ 1.

10.Проводім пряму А 2 В 2, рівняння якої У \u003d nx-n 2, до перетину з прямою А 1 В 1 в точці А.

11.Опускаем на ОХ з точки А перпендикуляр і отримуємо AD, рівний mn, де D € ОХ, так як в координатних площинах осях ХОУ координати точки А (m + n; mn).

рис.4

зауваження:Недолік даного способу такий же, як у першого способу побудови, де побудова можливо тільки за умови m ≠ n.

четвертий спосіб   побудови відрізкаAD= mn, деm   іn- будь-які, великі одиничного відрізка.

Одиничний інтервал.

n n\u003e 1 од., m і n- будь-які.

Побудова (Рис.5)

рис.5

1.Проведём пряму ОХ.

2.Отложім ОЕ \u003d 1 од., Де Е € ОХ.

3.Отлтжім ЄС 1 \u003d m, де З 1 € ОХ.

4.Восстановім перпендикуляр в точці С 1 до осі ОХ.

5.Построім ά \u003d С 1 ЕВ 1 \u003d 45º, де В 1 - точка перетину перпендикуляра З 1 В 1 зі стороною ά \u003d 45º.

6.Отложів ОА 1 \u003d m, проводимо пряму А 1 В 1, рівняння якої У \u003d mx-m 2, А € ОХ.

7.Отложім А 1 D \u003d n, де D € OX.

8.Восстановім перпендикуляр в точці D до перетину його в точці А з прямою А 1 В 1, рівняння якої У \u003d mx-m 2.

9.Отрезок перпендикуляра AD \u003d твору відрізків m і n, тобто AD \u003d mn, так як А (m + n; mn).

зауваження:Цей спосіб вигідно відрізняється від першого і третього способів, де m ≠ n, так як маємо справу з будь-якими відрізками m і n, одиничний інтервал може бути менше тільки одного з них, який бере участь в початку побудови (у нас m\u003e 1 од.).

Загальна проблема ІІ

За допомогою циркуля і лінійки побудувати відрізок, рівний відношенню двох інших відрізків.

Примітка:

одиничний інтервал менше відрізка подільника.

Перший спосіб побудови відрізкаn= k/ m, деm\u003e 1ед.

Одиничний інтервал.

побудова (Рис.6)

2.На ОУ відкладемо ОМ \u003d k.

3. На ОХ відкладемо ОА 1 = m.

4. На ОХ відкладемо А 1 С 1 \u003d 1 од.

5.Построім З 1 В 1 \u003d m, де З 1 В 1 ┴ ОХ.

6. Проведемо пряму А 1 В 1, рівняння якої y \u003d mx-m 2 в координатних осях ХОУ (масштаб на осях однаковий, рівний 1 од.).

7.Восстановім перпендикуляр МА в точці М до осі ОУ, де А- точка перетину МА з прямою А 1 В 1 (тобто А € А 1 В 1).

8.Опустім перпендикуляр з точки А на вісь ОХ до перетину його з віссю ОХ в точці D. Відрізок AD \u003d ОМ \u003d k \u003d mn.

9.Отрезок А 1 D \u003d n - шуканий відрізок, рівний n \u003d k / m.

Р Іс.6

Доказ:

1.Уравненіе прямий А 1 В 1 дійсно У \u003d mx-m 2, при У \u003d 0 маємо 0 \u003d mx-m 2 \u003d\u003e x \u003d m \u003d OA 1, т а кутовий коефіцієнт - tg

2.В ΔАDA 1 tg 1 D \u003d AD / A 1 D \u003d B 1 C 1 / A 1 C 1 \u003d\u003e A 1 D \u003d AD × A 1 C 1 / B 1 C 1 \u003d k × 1 од. / M \u003d mn / m \u003d n, тобто А 1 D \u003d n \u003d k / m - шуканий відрізок.

Зауваження.Дійсно, якщо в нашому прикладі m \u003d 3ед., K \u003d 15ЕД., То повинно бути A 1 D \u003d n \u003d k / m \u003d 15ЕД. / 3ед. \u003d 5 од. У нас так і вийшло.

другий спосіб   побудови відрізкаn= k/ m, деm\u003e 1ед.

Одиничний інтервал.

рис.7

1.Строім координатні осі ХОУ.

2.На ОУ відкладемо ОМ \u003d k.

3.Отложім ОЕ \u003d 1 од., Де Е € ОХ.

4.Отложім ЄС 1 \u003d m, де З 1 € ОХ.

5.Восстановім перпендикуляр в точці С 1 до осі ОХ.

6.Строім З 1 ЕВ 1 \u003d 45º, де В 1 - точка перетину перпендикуляра З 1 В 1 зі стороною кута З 1 ЕВ 1 \u003d 45º.

7. На ОХ відкладемо ОА 1 = m.

8. Проведемо пряму А 1 В 1, рівняння якої y \u003d mx-m 2 в координатних осях ХОУ (масштаб на осях однаковий, рівний 1 од.).

9.Восстановім перпендикуляр МА в точці М до осі ОУ, де А - точка перетину МА з прямою А 1 В 1 (тобто А € А 1 В 1).

10.Опустім перпендикуляр з точки А на вісь ОХ до перетину його з віссю ОХ в точці D. Відрізок AD \u003d ОМ \u003d k \u003d mn.

11.Отрезок А 1 D \u003d n - шуканий відрізок, рівний n \u003d k / m.

Доказ:

1.ΔВ 1 С 1 Е - прямокутний і рівнобедрений, так як С 1 ЕВ 1 \u003d 45º \u003d\u003e У 1 С 1 \u003d ЄС 1 \u003d m.

2.А 1 С 1 \u003d ОС 1 - ОА 1 \u003d (ОЕ + ЕС1) - ОА 1 \u003d 1 од + m-m \u003d 1 од.

3.Уравненіе прямий А 1 В 1 дійсно У \u003d mx-m 2, при У \u003d 0 маємо 0 \u003d mx-m 2 \u003d\u003e x \u003d m \u003d OA 1, а кутовий коефіцієнт - tg

4.У ΔАDA 1 tg 1 D \u003d AD / A 1 D \u003d B 1 C 1 / A 1 C 1 \u003d\u003e A 1 D \u003d AD × A 1 C 1 / B 1 C 1 \u003d k × 1 од. / M \u003d mn / m \u003d n, тобто А 1 D \u003d n \u003d k / m - шуканий відрізок.

висновок

У своїй роботі ми знайшли і досліджували різні методи побудови за допомогою циркуля і лінійки відрізка, рівного твору або відношенню двох інших відрізків, попередньо давши своє визначення цим діям з відрізками, так як ні в одній спеціальній літературі ми не змогли знайти не тільки визначення множення і ділення відрізків, але навіть згадки про ці дії над відрізками.

Тут нами було використано практично всі чотири етапи: аналіз, побудова, доказ і дослідження.

На закінчення ми б хотіли відзначити можливість застосування знайдених методів побудови відрізків в окремих розділах фізики і математики.

1. Якщо продовжити прямі y \u003d mx-m 2 і y \u003d nx-n 2 (n\u003e m\u003e 0) до перетину з віссю ОУ, то можна отримати відрізки, рівні m 2, n 2, n 2 - m 2 (Рис.8), Де ОК \u003d m 2, ОМ \u003d n 2, КМ \u003d n 2 - m 2.

Р
іс.8

Доказ:

Якщо х \u003d 0, то y \u003d 0-m 2 \u003d\u003e ОК \u003d m 2.

Аналогічно доводиться, що ОМ \u003d n 2 \u003d\u003e КМ \u003d ОМ-ОК \u003d n 2 - m 2.

2. Так як твір двох відрізків є площа прямокутника зі сторонами, рівними цим відрізкам, то, знайшовши відрізок, що дорівнює добутку двох інших, тим самим ми представляємо площа прямокутника у вигляді відрізка, довжина якого чисельно дорівнює цій площі.

3. У механіці, термодинаміці є фізичні величини, наприклад, робота (А \u003d FS, A \u003d PV), чисельно рівні площам прямокутників, побудованих у відповідних координатних площинах, тому в задачах, де потрібно, наприклад, порівняти роботи по площах прямокутників, дуже просто це зробити, якщо ці площі представити у вигляді відрізків, чисельно рівних площах прямокутників. А відрізки легко порівняти між собою.

4. Розглянутий метод побудови дозволяє будувати і інші відрізки, наприклад, використовуючи систему рівнянь y \u003d mx-m 3 і y \u003d nx-n 3, можна побудувати відрізки, маючи дані m і n такі, як m 2 + mn + n 2 і mn (m + n), так як точка а перетину прямих, заданих даною системою рівнянь, має координати (m 2 + mn + n 2; mn (m + n), а також можна побудувати відрізки n 3, m 3, і різниця n 3 - m 3, одержувані на ОУ в негативній області при Х \u003d 0.

Твори . ... допомоги циркуля   і лінійки. алгоритм ділення відрізка   АВ навпіл: 1) поставити ніжку циркуля   в точку А; 2) встановити розчин циркуля рівним   довжині відрізка ...

біографія Піфагора

Біографія \u003e\u003e Математика

... побудовою   правильних геометричних фігур з допомогою циркуля   і лінійки. ... допомоги циркуля   і лінійки. З часу виникнення завдання пройшло більше двох ... дорівнює   b / 4 + p, один катет дорівнює b / 4, а інший   b / 2-p. По теоремі Піфагора маємо: (b / 4 + p) \u003d (b / 4) + (b / 4-p) або ...

Відома з античних часів.

У завданнях на побудову можливі наступні операції:

• вибрати довільну точку   на площині, точку на одній з побудованих ліній або точку перетину двох побудованих ліній.
• За допомогою циркуля   провести окружність з центром в побудованій точці з радіусом, рівним відстані між двох побудованих точок.
• За допомогою лінійки   провести пряму, що проходить через дві побудовані точки.

простий приклад

Завдання.   За допомогою циркуля і лінійки розбити даний відрізок AB   на дві рівні частини. Одне з рішень показано на малюнку:

• Циркулем проводимо окружність з центром в точці A   радіусом AB.
• Проводимо коло з центром в точці B   радіусом AB.
• Знаходимо точки перетину P   і Q   двох побудованих кіл.
• Лінійкою проводимо відрізок, що з'єднує точки P   і Q.
• Знаходимо точку перетину AB   і PQ. Це - шукана середина відрізка AB.

правильні багатокутники

Античним геометрам були відомі способи побудови правильних для n \u003d 2 ^ k \\, \\!, 3 \\ cdot 2 ^ k, 5 \\ cdot 2 ^ k   і 3 \\ cdot5 \\ cdot2 ^ k.

нерозв'язні завдання

Наступні три завдання на побудову були поставлені ще в античності:

•   - розбити довільний кут на три рівні частини.
•   - побудувати відрізок, який є ребром куба в два рази більшого обсягу, ніж куб з даними ребром.
• - побудувати квадрат, рівний за площею даному колу.

Побудови одним циркулем і однієї лінійкою

По теоремі Мора-Маськероні (Mohr-Mascheroni theorem) за допомогою одного циркуля можна побудувати будь-яку фігуру, яку можна побудувати циркулем і лінійкою. При цьому пряма вважається побудованої, якщо на ній задано дві точки.

Легко помітити, що за допомогою однієї лінійки можна проводити тільки проективно-інваріантні побудови (див., Наприклад, в теорії поверхонь ).

Зокрема, неможливо навіть розбити відрізок на дві рівні частини. Але при наявності на площині заздалегідь проведеної окружності до зазначеного центром за допомогою лінійки можна провести ті ж побудови, що і циркулем і лінійкою ( теорема Понселе-Штейнера   (Poncelet-Steiner theorem),.

Див. також

•   - програма, що дозволяє робити побудови за допомогою циркуля і лінійки.

література

• А. Адлер. Теорія геометричних побудов,   Переклад з німецької Г. М. Фіхтенгольца. Видання третє. Л., Учпедгиз, 1940 - 232 с.
• І. І. Александров, Збірник геометричних задач на побудову,   Видання вісімнадцяте, М., Учпедгиз, 1950 - 176 с.
• Б. І. Аргунов, М Б Балк. Геометричні побудови на площині,   Посібник для студентів педагогічних інститутів. Видання друге. М., Учпедгиз, 1957 - 268 с.
• А. М. Вранці. Геометрія циркуля,   Популярна бібліотека з математики під загальною редакцією Л.А.Люстерніка, М.- Л., ОНТИ, 1934 - 40 с.
• Ю. І. Манін, Про можливості розв'язання задач на побудову за допомогою циркуля і лінійки,   Енциклопедія елементарної математики книга четверта (геометрія)   , М., Физматгиз, 1963. - 568с.
• Ю. Петерсен. Методи і теорії рішення геометричних задач на побудову,   Москва, друкарня Е.Лісснера і Ю.Романа, 1892 - VIII + 114с.
• В. В. Прасолов Три класичні задачі на побудову. Подвоєння куба, трисекція кута, квадратура кола,   М .: Наука, 1992. 80 с. Серія Популярні лекції з математики, випуск 62
• Я. Штейнер, Геометричні побудови, що виконуються за допомогою прямої лінії і нерухомого кола,   М., Учпедгиз, 1939 - 80 с.

   Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно в ознайомлювальних цілях і може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Підручник:Геометрія, 7-9: підручник для загальноосвітніх установ / (Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев і ін.) - 16 вид. - М .: Просвещение, 2011 року.

Мета уроку:

1. дати уявлення про новий класі задач на побудову;
2. розглянути найбільш прості завдання на побудова;
3. навчити учнів вирішувати такі завдання.

завдання:

Освітній аспект:

• дати уявлення про новий класі задач - побудова геометричних за допомогою циркуля і лінійки без масштабних поділок;
• формувати практичні вміння роботи;
• розширити знання про історію геометрії.

Розвиваючий аспект:

• розвиток навичок самоконтролю;
• формування ІКТ - компетентності;
• формування логічного мислення.

Виховний аспект:

• виховання відповідального ставлення до навчальної праці, волі і наполегливості для досягнення кінцевих результатів при вивченні теми;
• виховання інтересу до історії математики, як науки.

Тип уроку:комбінований.

Форми організації навчальної діяльності:індивідуальна, колективна.

Етапи уроку:

• підготовка до активної навчальної діяльності;
• застосування знань;
• підведення підсумків і рефлексія;
• інформація про домашнє завдання.

устаткування:

• Навчальний посібник, зошит, олівець, авторучка, лінійка, циркуль, роздатковий матеріал (КІМ);
• Комп'ютер, з мінімальними технічними вимогами: Windows 95/98 / ME / NT / 2000 / XP, 7.
• Муьтімедійний проектор, екран.

Ресурси уроку:

• тестові завдання (КІМ) додаток 1;
• презентація;
• оцінка ступеня засвоєння матеріалу додаток 3.

План уроку:

№	етап уроку	мета уроку	час
1.	Організаційний момент (слайди 1-2)	Повідомлення теми уроку; Постановка мети уроку; Повідомлення етапів уроку.	2 хв.
2.	Повторення. Перевірка домашнього завдання. (Слайд 3)	Перевірка теоретичних знань учнів по темі окружність при виконанні тесту.	5 хв.
3.	Підготовка учнів до сприйняття нового матеріалу. (Слайди 4-8)	Актуалізація опорних знань	10 хв.
4.	Вивчення нового матеріалу (слайди 9-19)	Відпрацювання навичок вирішення найпростіших завдань на побудову циркулем і лінійкою, розглянутих у підручнику.	25 хв.
5.	Підсумок уроку.	Підведення підсумків уроку.	2 хв.
6.	Домашнє завдання. (Слайд 20)	Інструктаж по домашньому завданню.	1 хв.

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент:

Тема сьогоднішнього уроку - «Приклади завдань на побудову» (слайд 1).

Мета уроку - розглянути найбільш прості завдання на побудова, які вирішуються тільки за допомогою циркуля і лінійки без поділів; навчитися вирішувати їх (слайд 2).

2. Повторення. Перевірка домашнього завдання:

Ми з вами вивчили тему «Коло» і сьогодні перевіримо за допомогою тесту ваші знання. Виконати завдання тесту (кожному лунають Кіми з тестовим завданням). Для кожного питання виберіть правильний варіант відповіді. Самостійно оцініть свої знання, підрахувавши кількість вірних відповідей. Якщо вірних відповідей 6 - оцінка «5», якщо вірних відповідей 5 - оцінка «4», якщо вірних відповідей 4 - оцінка «3», менша кількість вірних відповідей - оцінка «2».

(Вірні відповіді на слайді 3 презентації).

3. Підготовка учнів до сприйняття нового матеріалу:

Вступна бесіда вчителя:

Ми вже мали справу з геометричними побудовами: проводили прямі, відкладали відрізки, рівні даними, креслили кути, трикутники та інші фігури за допомогою різних інструментів. При побудові відрізка заданої довжини використовувалася лінійка з міліметровими розподілами, а при побудові кута заданої градусної міри - транспортир.

У домашній роботі у вас була така задача:

Накресліть трикутник АВС такий, що АВ \u003d 3,6 см, АС \u003d 2,7 см, А \u003d 48 °. які ін струменти ви використовували для вирішення цього завдання?

Отже, ми використовували лінійку з міліметровими розподілами і транспортир. Але є такі завдання, в яких буває обумовлено, з допомогою яких інструментів потрібно побудувати пропоновану геометричну фігуру (слайд 4-5).

Завдання 1. За допомогою циркуля і лінійки без поділів на даному промені від його початку відкласти відрізок, рівний даному. Креслення на екрані.

(Учні пропонують варіанти рішень).

А тепер перевіримо ваше рішення (див. Слайд 6)

Таким чином, багато побудови в геометрії можуть бути виконані за допомогою тільки циркуля і лінійки без поділів (слайд 7).

Надалі, говорячи про завдання на побудову, ми будемо мати на увазі саме такі побудови.

Завдання на побудову циркулем і лінійкою є традиційним матеріалом, досліджуваним в курсі планіметрії. Зазвичай ці завдання вирішуються за схемою, що складається з чотирьох частин (подивитися с. 95-96 підручника). Спочатку малюють (креслять) шукану фігуру і встановлюють зв'язки між даними завдання і шуканими елементами. Ця частина рішення називається аналізом. Вона дає можливість скласти план рішення задачі.

Потім за наміченим планом виконується побудова   циркулем і лінійкою.

Після цього потрібно довести, Що побудована фігура задовольняє умовам завдання.

І нарешті, необхідно досліджувати, При будь-яких чи даних завдання має рішення, і якщо має, то скільки рішень.

У тих випадках, коли завдання досить проста, окремі частини, наприклад аналіз або дослідження, можна опустити (слайд 8).

У VII класі ми вирішимо найпростіші завдання на побудову циркулем і лінійкою, в інших класах будемо вирішувати більш складні завдання.

4. Вивчення нового матеріалу:

І так, наша задача - виконати завдання на побудову тільки за допомогою двох інструментів: циркуля і лінійки без масштабних поділок.

Що можна робити з їх допомогою? Ясно що лінійка дозволяє провести довільну пряму, а також побудувати пряму, що проходить через дві дані точки. За допомогою циркуля можна провести окружність довільного радіуса, а також коло з центром в цій точці і радіусом, рівним даному відрізку(Слайд 9).

Виконуючи ці нескладні операції, ми зможемо вирішити багато цікавих завдань на побудову (слайд 10):

1. На даному промені від його початку відкласти відрізок, рівний даному.
2. Відкласти від даного променя кут, рівний даному.
3. Побудувати бісектрису даного неразвернутого кута.
4. Побудувати пряму, що проходить через дану точку і перпендикулярну до прямої, на якій лежить дана точка.
5. Побудувати середину даного відрізка.

Ми вже вирішили задачу № 1.

Тепер за допомогою комп'ютера розглянемо рішення задачі № 2. Виконуйте відповідні побудови в зошиті (слайди 11-12).

А тепер розглянемо завдання № 3 - 5 (слайд 13-18).

(Виконуються відповідні побудови і опису завдань в зошиті)

Після виконання роботи, вчитель звертає увагу учнів на те, що такі завдання розглядалися в стародавності(Слайд 19).

А тепер звернемося до історії геометрії. Давньогрецькі математики досягли надзвичайно великого мистецтва в геометричних побудовах за допомогою циркуля і лінійки. Вони довели, що кут можна розділити і на чотири рівних кута. Для цього потрібно розділити його навпіл, а потім побудувати бісектрису кожної половинки. А чи можна за допомогою циркуля і лінійки розділити кут на три рівні частини? Це завдання, що отримала назву завдання про трисекции кута,протягом багатьох століть привертала увагу математиків. Однак вона не піддавалися їхнім зусиллям. Лише в минулому столітті було доведено, що для довільного кута така побудова неможливо.

Є й інші завдання на побудову, про які відомо, що вони нерозв'язні за допомогою циркуля і лінійки. Я пропоную вам самостійно знайти матеріал, що містить інформацію для ознайомлення з цими завданнями.

5. Підведення підсумків уроку:

Ми вивчили багато нового, дізналися які завдання можна вирішити тільки за допомогою циркуля і лінійки. У вас у кожного лежить лист із запитаннями. Оцініть свою роботу на сьогоднішньому уроці, вибравши один із запропонованих варіантів відповіді.

1. Оцініть ступінь складності уроку. Вам було на уроці:
   • легко;
   • зазвичай;
   • важко
2. Оцініть ступінь вашого засвоєння матеріалу:
   • засвоїв повністю, можу застосувати;
   • засвоїв повністю, але важко в застосуванні;
   • засвоїв частково;
   • засвоїв.

Зібрати листочки для оцінки ступеня засвоєння матеріалу сьогоднішнього уроку, щоб на наступному уроці правильно організувати роботу. Повідомляються оцінки за урок, включаючи оцінки за тест по темі «Коло».

6. Домашнє завдання:

• відповісти на питання 17-21 на стор. 50;
• вирішити завдання №№ 153, 154 (слайд 20).

У завданнях на побудову розглядатимемо побудову геометричної фігури, яке можна виконати за допомогою лінійки і циркуля.

За допомогою лінійки можна провести:

довільну пряму;

довільну пряму, що проходить через дану точку;

пряму, що проходить через дві дані точки.

За допомогою циркуля можна описати з даного центру окружність даного радіуса.

Циркулем можна відкласти відрізок на даній прямій від даної точки.

Розглянемо основні завдання на побудову.

Завдання 1.   Побудувати трикутник з даними сторонами а, b, с (рис.1).

Рішення.   За допомогою лінійки проведемо довільну пряму і візьмемо на ній довільну точку В. Розчином циркуля, рівним а, описуємо коло з центром В і радіусом а. Нехай С - точка її перетину з прямою. Розчином циркуля, рівним с, описуємо коло з центру В, а розчином циркуля, рівним b - окружність з центру С. Нехай А - точка перетину цих кіл. Трикутник ABC має боку, рівні a, b, c.

Зауваження. Щоб три відрізка прямої могли служити сторонами трикутника, необхідно, щоб більший з них був менше суми двох інших (а< b + с).

Завдання 2.

Рішення.   Даний кут з вершиною А і промінь ОМ зображені на малюнку 2.

Проведемо довільну окружність з центром у вершині А даного кута. Нехай В і С - точки перетину кола зі сторонами кута (рис.3, а). Радіусом АВ проведемо окружність з центром в точці О - початковій точці даного променя (рис.3, б). Точку перетину цієї окружності з цим променем позначимо З 1. Опишемо коло з центром С 1 і радіусом ВС. Точка В 1 перетину двох кіл лежить на боці шуканого кута. Це випливає з рівності Δ ABC \u003d Δ ОВ 1 С 1 (третя ознака рівності трикутників).

Завдання 3. Побудувати бісектрису даного кута (рис.4).

Рішення.   З вершини А даного кута, як з центру, проводимо окружність довільного радіуса. Нехай В і С - точки її перетину зі сторонами кута. З точок В і С тим же радіусом описуємо кола. Нехай D - точка їх перетину, відмінна від А. Луч AD ділить кут А навпіл. Це випливає з рівності Δ ABD \u003d Δ ACD (третя ознака рівності трикутників).

Завдання 4.   Провести серединний перпендикуляр до даного відрізку (рис.5).

Рішення.   Довільним, але однаковим розчином циркуля (великим 1/2 АВ) описуємо дві дуги з центрами в точках А і В, які перетнуться між собою в деяких точках С і D. Пряма CD буде шуканим перпендикуляром. Дійсно, як видно з побудови, кожна з точок С і D однаково віддалена від А і В; отже, ці точки повинні лежати на серединному перпендикуляре до відрізка АВ.

Завдання 5.   Розділити даний відрізок навпіл. Вирішується так само, як і завдання 4 (див. Рис.5).

Завдання 6.   Через дану точку провести пряму, перпендикулярну даної прямий.

Рішення.   Можливі два випадки:

1) дана точка О лежить на даній прямій а (рис. 6).

З точки Про проводимо довільним радіусом коло, що перетинає пряму а в точках А і В. З точок А і В тим же радіусом проводимо окружності. Нехай О 1 - точка їх перетину, відмінна від О. Отримуємо ГО 1 ⊥ AB. Справді, точки О і О1 рівновіддалені від кінців відрізка АВ і, отже, лежать на серединному перпендикуляре до цього відрізка.