Різниця між радіусом і діаметром. Як знайти радіус кола: на допомогу школярам

Інструкція

У разі, якщо відомий тільки діаметр, то формула буде виглядати як «R \u003d D / 2».

якщо довжина окружності  невідома, але є дані про довжину певного, то формула буде мати вигляд «R \u003d (h ^ 2 * 4 + L ^ 2) / 8 * h», де h - висота сегмента (є відстанню від середини хорди до самої виступаючої частини зазначеної дуги), а L - довжина сегмента (яка не є довжиною хорди) .Хорда - відрізок, що з'єднує дві точки окружності.

Зверніть увагу

Слід розрізняти поняття «окружність» і «коло». Коло є частиною площині, яка, в свою чергу, обмежується колом певного радіуса. Щоб знайти радіус, необхідно знати площу кола. У такому випадку рівняння матиме вигляд «R \u003d (S / π) ^ 1/2», де S є площею. Щоб обчислити площу, в свою чергу слід знати радіус ( «S \u003d πr ^ 2»).

Знаючи лише довжину діаметра  кола, можна обчислити не тільки площа  кола, а й площі деяких інших геометричних фігур. Це випливає з того, що діаметри вписаних або описаних навколо таких фігур кіл збігаються з довжинами їх сторін або діагоналей.

Інструкція

Якщо треба знайти площа  (S) за відомою довжині його діаметра  (D), множте число пі (π) на зведену в довжину діаметра, А результат ділите на чотири: S \u003d π ² * D² / 4. Наприклад, кола дорівнює двадцяти сантиметрів, то його площа  можна обчислити так: 3,14² * 20² / 4 \u003d 9,86 * 400/4 \u003d 986 сантиметрів.

Якщо треба знайти площа  квадрата (S) по діаметру навколо нього кола (D), зводите довжину діаметра  в квадрат, а результат розділіть навпіл: S \u003d D² / 2. Наприклад, якщо діаметр описаного кола дорівнює двадцяти сантиметрів, то площа  квадрата можна обчислити так: 20² / 2 \u003d 400/2 \u003d 200 квадратних сантиметрів.

якщо площа  квадрата (S) потрібно знайти по діаметру вписаною в нього кола (D), досить звести довжину діаметра  в квадрат: S \u003d D². Наприклад, якщо діаметр вписаного кола дорівнює двадцяти сантиметрів, то площа  квадрата можна обчислити так: 20² \u003d 400 квадратних сантиметрів.

Якщо треба знайти площа  (S) по відомим діаметрам вписаною (d) і описаної (D) навколо нього кіл, то зводите довжину діаметра вписаного кола в квадрат і ділите на чотири, а до результату додавайте половину твору довжин вписаною і описаного кіл: S \u003d d² / 4 + D * d / 2. Наприклад, якщо діаметр описаного кола дорівнює двадцяти сантиметрів, а вписаною - десяти сантиметрам, то площа  трикутника можна обчислити так: 10² / 4 + 20 * 10/2 \u003d 25 + 100 \u003d 125 квадратних сантиметрів.

Використовуйте вбудований в пошукову систему Google для проведення необхідних розрахунків. Наприклад, щоб за допомогою цього пошуковика площа  прямокутного трикутника за даними прикладу з четвертого кроку, треба ввести такий пошуковий запит: «10 ^ 2/4 + 20 * 10/2», а натиснути клавішу Enter.

джерела:

• як знайти площу кола по діаметру

Коло - це плоска геометрична фігура, всі крапки якої знаходяться на однаковому і відмінному від нуля видаленні від обраної точки, яку називають центром кола. Пряму, що сполучає будь-які дві точки кола і проходить через центр, називають його діаметром. Сумарна довжина всіх кордонів двомірної фігури, яку зазвичай називають периметром, у кола частіше позначається як «довжина кола». Знаючи довжину окружності можна обчислити і її діаметр.

Інструкція

Використовуйте для знаходження діаметра одне з основних властивостей кола, яке полягає в тому, що співвідношення довжини її периметра до діаметру однаково для всіх кіл. Звичайно, сталість не залишилося не зазначеним математиками, і ця пропорція давно вже отримала власне - це число Пі (π - перша грецьких слів « окружність»І« периметр »). Числове цієї визначається довжиною кола, у якій діаметр дорівнює одиниці.

Використовуйте будь-якої, щоб розрахувати довжину діаметра, якщо зробити це в розумі не виходить. Наприклад, можна скористатися тим, який вбудований в пошукову систему Nigma або Google - він математичні операції, що вводяться на «людському». Наприклад, якщо відома довжина кола становить чотири метри, то для знаходження діаметра можна «по-людськи» попросити пошуковик: «4 метра розділити на пі». Але якщо ви введете в поле пошукового запиту, наприклад, «4 / пі», то пошуковик зрозуміє і таку постановку задачі. У будь-якому випадку відповіддю буде «1.27323954 метра».

Скористайтеся програмним калькулятором Windows, якщо вам більш звичні інтерфейси зі звичайними кнопками. Щоб не шукати посилання на його запуск в глибинних рівнях головного меню системи, натисніть клавіші WIN + R, введіть команду calc і натисніть клавішу Enter. Інтерфейс цієї програми дуже незначно відрізняється від звичайних калькуляторів, тому операція ділення довжини окружності на число Пі навряд чи викличе будь-які труднощі.

  Питання про діаметр земної кулі не такий простий, як може здатися на перший погляд, адже саме поняття «земну кулю» досить умовно. У справжнього кулі діаметр завжди буде однаковим, в якому б місці не був проведений відрізок, що з'єднує дві точки на поверхні сфери і проходить через центр.

Стосовно до Землі не представляється можливим, оскільки її кулястість далеко не ідеальна (в природі взагалі не буває ідеальних геометричних фігур і тіл, вони представляють собою абстрактні геометричні поняття). Для точного позначення Землі вченим навіть довелося ввести спеціальне поняття - «геоид».

Офіційний діаметр Землі

Величина діаметра Землі визначається тим, в якому місці його будуть вимірювати. Для зручності за офіційно визнаний діаметр приймаються два показника: діаметр Землі по екватору і відстань між Північним і Південним полюсами. Перший показник дорівнює 12 756,274 км, а другий - 12 714, різниця між ними становить трохи менше 43 км.

Дані цифри не справляють особливого враження, вони поступаються навіть відстані між Москвою і Краснодаром - двома містами, розташованими на території однієї країни. Проте, обчислити їх було непросто.

Обчислення діаметра Землі

Діаметр планети вираховується за такою ж геометричній формулою, як і будь-який інший діаметр.

Щоб знайти периметр кола, необхідно помножити її діаметр на число πі. Отже, для знаходження діаметра Землі потрібно виміряти її окружність у відповідному перерізі (по екватору або в площині полюсів) і розділити її на число πі.

Першою людиною, який спробував виміряти окружність Землі, був давньогрецький вчений Ератосфен Кіренський. Він звернув увагу, що в Сієні (нині - Асуан) в день літнього сонцестояння Сонце знаходиться в зеніті, висвітлюючи дно глибокого колодязя. В Олександрії ж в цей день воно відстояло від зеніту на 1/50 окружності. З цього вчений зробив висновок, що відстань від Олександрії до Сієна становить 1/50 окружності Землі. Відстань між цими містами одно 5 000 грецьким стадіях (приблизно 787,5 км), отже, окружність Землі дорівнює 250 000 стадій (приблизно 39 375 км).

У розпорядженні сучасних вчених є більш досконалі засоби вимірювання, але їх теоретична основа відповідає ідеї Ератосфена. У двох точках, розташованих в декількох сотнях кілометрів один від одного, фіксують положення Сонця або певних зірок на небосхилі і обчислюють різницю між результатами двох вимірювань в градусах. Знаючи відстань в кілометрах, нескладно вирахувати довжину одного градуса, а потім помножити її на 360.

Для уточнення розмірів Землі використовується і лазерна дальнометрія, і супутникові системи спостереження.

На сьогоднішній день вважається, що окружність Землі по екватору становить 40 075,017 км, а по - 40 007,86. Ератосфен лише трохи помилився.

Величина і окружності, і діаметра Землі збільшується через метеоритного речовини, постійно випадає на Землю, але процес цей йде дуже повільно.

джерела:

• Як виміряли Землю в 2019

Спочатку розберемося на відміну між колом і колом. Щоб побачити цю різницю, досить розглянути, чим є обидві фігури. Це незліченна кількість точок площини, розташовані на рівній відстані від єдиної центральної точки. Але, якщо коло складається і з внутрішнього простору, то окружності воно не належить. Виходить, що коло це і окружність, що обмежує його (о-кру (г) жность), і незліченна кількість точок, що всередині кола.

Для будь-якої точки L, що лежить на колі, діє рівність OL \u003d R. (Довжина відрізка OL дорівнює радіусу кола).

Відрізок, який сполучає дві точки кола, є її хордою.

Хорда, що проходить прямо через центр окружності, є діаметром  цього кола (D). Діаметр можна обчислити за формулою: D \u003d 2R

Довжина кола  обчислюється за формулою: C \u003d 2 \\ pi R

Площа кола: S \u003d \\ pi R ^ (2)

дугою кола називається та її частина, яка розташовується між двох її точок. Ці дві точки і визначають дві дуги окружності. Хорда CD стягує дві дуги: CMD і CLD. Однакові хорди стягують однакові дуги.

центральним кутом  називається такий кут, який знаходиться між двох радіусів.

довжину дуги  можна знайти за формулою:

1. Використовуючи градусну міру: CD \u003d \\ frac (\\ pi R \\ alpha ^ (\\ circ)) (180 ^ (\\ circ))
2. Використовуючи Радіан міру: CD \u003d \\ alpha R

Діаметр, що перпендикулярний хорді, ділить хорду і стягнуті нею дуги навпіл.

У разі, якщо хорди AB і CD кола мають перетин у точці N, то твори відрізків хорд, розділені крапкою N, рівні між собою.

AN \\ cdot NB \u003d CN \\ cdot ND

Дотична до кола

Дотичною до кола  прийнято називати пряму, яка має одна загальна точка з окружністю.

Якщо ж у прямій є дві загальні точки, її називають січною.

Якщо провести радіус в точку дотику, він буде перпендикулярний дотичній до окружності.

Проведемо дві дотичні з цієї точки до нашої окружності. Вийде, що відрізки дотичних зрівняються один з іншим, а центр кола розташується на бісектрисі кута з вершиною в цій точці.

AC \u003d CB

Тепер до окружності з нашої точки проведемо дотичну і січну. Отримаємо, що квадрат довжини відрізка дотичної буде дорівнює добутку всього відрізка січної на його зовнішню частину.

AC ^ (2) \u003d CD \\ cdot BC

Можна зробити висновок: твір цілого відрізка першої січною на його зовнішню частину дорівнює добутку цілого відрізка другий січною на його зовнішню частину.

AC \\ cdot BC \u003d EC \\ cdot DC

Кути в окружності

Градусні заходи центрального кута і дуги, на яку той спирається, рівні.

\\ Angle COD \u003d \\ cup CD \u003d \\ alpha ^ (\\ circ)

вписаний кут  - це кут, вершина якого знаходиться на колі, а сторони містять хорди.

Обчислити його можна, дізнавшись величину дуги, так як він дорівнює половині цієї дуги.

\\ Angle AOB \u003d 2 \\ angle ADB

Спирається на діаметр, вписаний кут, прямий.

\\ Angle CBD \u003d \\ angle CED \u003d \\ angle CAD \u003d 90 ^ (\\ circ)

Вписані кути, які спираються на одну дугу, тотожні.

Спираються на одну хорду вписані кути тотожні або їх сума дорівнює 180 ^ (\\ circ).

\\ Angle ADB + \\ angle AKB \u003d 180 ^ (\\ circ)

\\ Angle ADB \u003d \\ angle AEB \u003d \\ angle AFB

На одному колі знаходяться вершини трикутників з тотожними кутами і заданим підставою.

Кут з вершиною всередині кола і розташований між двома хордами тотожний половині суми кутових величин дуг окружності, які полягають всередині даного і вертикального кутів.

\\ Angle DMC \u003d \\ angle ADM + \\ angle DAM \u003d \\ frac (1) (2) \\ left (\\ cup DmC + \\ cup AlB \\ right)

Кут з вершиною поза колом і розташований між двома січними тотожний половині різниці кутових величин дуг окружності, які полягають всередині кута.

\\ Angle M \u003d \\ angle CBD - \\ angle ACB \u003d \\ frac (1) (2) \\ left (\\ cup DmC - \\ cup AlB \\ right)

вписана окружність

вписана окружність  - це коло, що стосується сторін багатокутника.

У точці, де перетинаються бісектриси кутів багатокутника, розташовується її центр.

Окружність може бути вписаною не в кожен багатокутник.

Площа багатокутника з вписаною окружністю знаходиться за формулою:

S \u003d pr,

p - напівпериметр багатокутника,

r - радіус вписаного кола.

Звідси випливає, що радіус вписаного кола дорівнює:

r \u003d \\ frac (S) (p)

Суми довжин протилежних сторін будуть тотожні, якщо окружність вписана в опуклий чотирикутник. І навпаки: в опуклий чотирикутник вписується коло, якщо в ньому суми довжин протилежних сторін тотожні.

AB + DC \u003d AD + BC

У будь-який з трикутників можливо вписати коло. Тільки одну єдину. У точці, де перетинаються бісектриси внутрішніх кутів фігури, буде лежати центр цієї вписаного кола.

Радіус вписаного кола обчислюється за формулою:

r \u003d \\ frac (S) (p),

де p \u003d \\ frac (a + b + c) (2)

описана окружність

Якщо окружність проходить через кожну вершину багатокутника, то таку окружність прийнято називати описаного навколо багатокутника.

У точці перетину серединних перпендикулярів сторін цієї фігури буде знаходитися центр описаного кола.

Радіус можна знайти, обчисливши його як радіус кола, яка описана навколо трикутника, визначеного будь-якими 3-ма вершинами багатокутника.

Є така умова: окружність можливо описати близько чотирикутника тільки, якщо сума його протилежних кутів дорівнює 180 ^ (\\ circ).

\\ Angle A + \\ angle C \u003d \\ angle B + \\ angle D \u003d 180 ^ (\\ circ)

Близько будь-якого трикутника можна описати коло, причому одну-єдину. Центр такої окружності буде розташований в точці, де перетинаються серединні перпендикуляри сторін трикутника.

Радіус описаного кола можна обчислити за формулами:

R \u003d \\ frac (a) (2 \\ sin A) \u003d \\ frac (b) (2 \\ sin B) \u003d \\ frac (c) (2 \\ sin C)

R \u003d \\ frac (abc) (4 S)

a, b, c - довжини сторін трикутника,

S - площа трикутника.

теорема Птолемея

Під кінець, розглянемо теорему Птолемея.

Теорема Птолемея свідчить, що твір діагоналей тотожне сумі творів протилежних сторін вписаного чотирикутника.

AC \\ cdot BD \u003d AB \\ cdot CD + BC \\ cdot AD

Даний урок присвячений вивченню кола і кола. Також вчитель навчить відрізняти замкнуті і незамкнуті лінії. Ви познайомитеся з основними властивостями кола: центром, радіусом і діаметром. Вивчіть їх визначення. Навчіться визначати радіус, якщо відомий діаметр, і навпаки.

Якщо заповнити простір усередині кола, наприклад накреслити коло за допомогою циркуля на папері або картоні і вирізати, то отримаємо коло (рис. 10).

Рис. 10. Коло

коло  - це частина площини, обмежена колом.

Умова:Вітя Верхоглядкін накреслив у своїй окружності (рис. 11) 11 діаметрів. А коли перерахував радіуси, отримав 21. Чи правильно він порахував?

Рис. 11. Ілюстрація до задачі

Рішення:радіусів має бути в два рази більше, ніж діаметрів, тому:

Вітя порахував неправильно.

Список літератури

1. Математика. 3 клас. Учеб. для загальноосвіт. установ з дод. на електрон. носії. У 2 ч. Ч. 1 / [М.І. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.] - 2-е вид. - М .: Просвещение, 2012. - 112 с .: іл. - (Школа Росії).
2. Рудницька В.М., Юдачёва Т.В. Математика, 3 клас. - М .: ВЕНТАНА-ГРАФ.
3. Петерсон Л.Г. Математика, 3 клас. - М .: Ювента.

1. Mypresentation.ru ().
2. Sernam.ru ().
3. School-assistant.ru ().

Домашнє завдання

1. Математика. 3 клас. Учеб. для загальноосвіт. установ з дод. на електрон. носії. У 2 ч. Ч. 1 / [М.І. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.] - 2-е вид. - М .: Просвещение, 2012., ст. 94 № 1, ст. 95 № 3.

2. Розгадати загадку.

Ми живемо з братиком дружно,

Нам так весело удвох,

Ми на лист поставимо кухоль (рис. 12),

Обведём олівцем.

Вийшло те, що потрібно -

Називається ...

3. Необхідно визначити діаметр кола, якщо відомо, що радіус дорівнює 5 м.

4. * За допомогою циркуля накресліть дві окружності з радіусами: а) 2 см і 5 см; б) 10 мм і 15 мм.

Найчастіше, коли школяр складає випускні іспити в школі або вступні в будь-якої ВНЗ, йому необхідні певні знання в галузі геометрії. Причому, завдання бувають не такі вже складні, просто потрібно пам'ятати базові формули, щоб застосувати їх у рішенні. Завдання, в яких необхідно знайти радіус кола, не є винятком. В принципі, вони досить прості в рішенні. У даній статті ми розповімо вам, як знайти радіус кола різними способами.

Знаходимо радіус кола, виходячи з формул

Коли ви отримуєте завдання на контрольній або на іспиті, в якому треба знайти радіус кола, в першу чергу необхідно проаналізувати наявні дані. Тому що саме від них залежатиме хід рішення в цілому. Так, наприклад, знайти розглянуту величину можна, використовуючи такі параметри: довжину окружності, її площа, діаметр та ін. Ми розглянемо найпростіші і часто зустрічаються способи вирішення завдань, в яких радіус кола є невідомим.

Всі ми знаємо, що радіусом окружності є довжина від її центру до будь-якої точки, яка розташована на самій кола. У зв'язку з цим, рішення можуть бути наступними:

1. Коли вам у вихідних даних завдання дано діаметр окружності, то рішення тут буде простіше простого. Адже нам відомо, що діаметром є відрізок, який з'єднує кілька точок на окружності, проходячи при цьому через її центр. З цього випливає, що діаметр - це 2 радіусу. Тоді радіус ми знаходимо за формулою: r \u003d D / 2, де r - це радіус кола, а D, відповідно, її діаметр. Наприклад, діаметр за умовою дорівнює 32 см, тоді радіус ми обчислюємо так: 32/2 \u003d 16 см.
2. Переходимо до наступного способу вирішення. Припустимо, вам в умови дана довжина кола. Висловлюючись математичною мовою, це так званий периметр. Ми прекрасно знаємо, що є спеціальна формула знаходження довжини кола: P \u003d 2πr. Звідси, ми можемо вивести формулу радіусу: r \u003d P / 2π. Тепер розглянемо це на прикладі. Припустимо, за умовою завдання вам дана довжина кола, що дорівнює 31,4 см, а π в математиці - величина постійна і завжди дорівнює 3,14; тоді радіус знаходимо наступним чином: 31,4 / 2 * 3,14 \u003d 5 см.
3. Тепер розглянемо, як знайти радіус кола, якщо дана її площа. Формула площі кола має такий вигляд: S \u003d πr2. Звідси знаходимо формулу радіусу: r \u003d √ (S / π). Знову ж розглянемо всі в цифровому обчисленні. Нехай вам дана в умові завдання площа, наприклад - 28,26 см2. Підставляємо дані в виведену нами формулу і отримуємо: √28,26 / 3,14 \u003d 3 см.

Тепер вам не важко буде вирішити будь-яке завдання з перебуванням радіусу кола. Головне - чітко проаналізувати вихідні дані, а потім застосувати відповідну формулу, і можете вважати себе великим математиком.

окружністю  називають замкнуту, плоску криву, всі крапки якої, що лежать в одній площині, видалені на однаковій відстані від центру.

Точка, крапка Про    є центром кола, R    є радіусом кола - відстанню від якої-небудь точки окружності до центру. За визначенням все радіуси замкнутої

рис. 1

кривої мають однакову довжину.

Відстань між двома точками кола називається хордою. Відрізок окружності, що проходить через її центр і з'єднує дві її точки, називається діаметром. Середина діаметра є центром кола. Точки кола ділять замкнуту криву на дві частини, кожна частина носить назву дуги окружності. Якщо кінці дуги належать діаметру, то така окружність називається півколом, довжину якої прийнято позначати π   . Градусна міра двох кіл, що мають спільні кінці, становить 360 градусів.

Концентричні кола - це кола, які мають загальний центр. Ортогональні окружності - це кола, які перетинаються під кутом рівним 90 градусів.

Площина, яку обмежує коло, називається колом. Одна частина кола, яка обмежена двома радіусами і дугою - це круговий сектор. Дуга сектора - це дуга, що обмежує сектор.

Рис. 2

Взаємне розташування кола і прямої (рис.2).

Коло і пряма мають дві загальні точки, якщо відстань від прямої до центру кола менш радіусу кола. В такому випадку пряма по відношенню до кола називається січною.

Коло і пряма мають одну спільну точку, якщо відстань від прямої до центру кола дорівнює радіусу кола. В такому випадку пряма по відношенню до кола називається дотичною до кола. Їх загальна точка зветься точки дотику кола і прямої.

Основні формули окружності:

• C \u003d 2πR   , де C    - довжина кола
• R \u003d С / (2π) \u003d D / 2 , де З / (2π)    - довжина дуги кола
• D \u003d C / π \u003d 2R   , де D    - діаметр
• S \u003d πR2   , де S    - площа кола
• S \u003d ((πR2) / 360) α , де S    - площа кругового сектора

Коло і круг отримали свою назву в Стародавній Греції. Уже в давнину людини цікавили круглі тіла, тому коло ставала вінцем досконалості. Те, що кругле тіло могло рухатися саме по собі, стало поштовхом до винаходу колеса. Здавалося б, що особливого в цьому винаході? Але уявіть, якщо в одну мить колеса зникнуть з нашого життя. Надалі цей винахід і породило математичне поняття окружності.