Трикутник завжди гострокутий. Властивості трикутника. У тому числі рівність і подобу, рівні трикутники, сторони трикутника, кути трикутника, площа трикутника - формули обчислення, прямокутний трикутник, рівнобедрений

Ознаки рівності прямокутних трикутників

  типи трикутників

Розглянемо три точки, що не лежать на одній прямій, і три відрізки, що з'єднують ці точки (рис. 1).

Трикутником називають частину площині, обмежену цими відрізками, відрізки називають сторонами трикутника, а кінці відрізків (три точки, що не лежать на одній прямій) - вершинами трикутника.

У таблиці 1 перераховані всі можливі типи трикутників в залежності від величини їх кутів .

Таблиця 1 - Типи трикутників в залежності від величини кутів

малюнок	Тип трикутника	визначення
	гострокутний трикутник	Трикутник, у якого всі кути гострі , Називають гострокутним
	Прямокутний трикутник	Трикутник, у якого один з кутів прямий , Називають прямокутним
	тупоугольние трикутник	Трикутник, у якого один з кутів тупий , Називають тупоугольние

гострокутний трикутник

визначення: Трикутник, у якого всі кути гострі , Називають гострокутним

Прямокутний трикутник

визначення: Трикутник, у якого один з кутів прямий , Називають прямокутним

тупоугольние трикутник

визначення: Трикутник, у якого один з кутів тупий , Називають тупоугольние

Залежно від довжин сторін   виділяють два важливих типу трикутників.

Таблиця 2 - Рівнобедрений і рівносторонній трикутники

малюнок	Тип трикутника	визначення
	Рівнобедрений трикутник	бічними сторонами, А третю сторону називають підставою рівнобедреного трикутника
	Рівносторонній (правильний)  трикутник	Трикутник, у якого всі три сторони рівні, називають рівностороннім або правильним трикутником

Рівнобедрений трикутник

визначення: Трикутник, у якого дві сторони рівні, називають рівнобедреним трикутником. У цьому випадку дві рівні сторони називають бічними сторонами, А третю сторону називають підставою рівнобедреного трикутника

Рівносторонній (правильний) трикутник

визначення: Трикутник, у якого всі три сторони рівні, називають рівностороннім або правильним трикутником

  Ознаки рівності трикутників

Трикутники називають рівними, якщо їх можна поєднати накладенням .

У таблиці 3 наведені ознаки рівності трикутників.

Таблиця 3 - Ознаки рівності трикутників

малюнок	Назва ознаки	формулювання ознаки
	по двом сторонам і куту між ними
	Ознака рівності трикутників по стороні і двом прилеглим до неї кутам
	Ознака рівності трикутників по трьом сторонам

Ознака рівності трикутників по двох сторонах і куту між ними

формулювання ознаки. Якщо дві сторони одного трикутника і кут між ними відповідно рівні двом сторонам другого трикутника і кутом між ними, то такі трикутники рівні

Ознака рівності трикутників по стороні і двом прилеглим до неї кутам

формулювання ознаки. Якщо сторона і два прилеглих до неї кути одного трикутника відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні

Ознака рівності трикутників за трьома сторонам

формулювання ознаки. Якщо три сторони одного трикутника відповідно рівні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні

  Ознаки рівності прямокутних трикутників

Для сторін прямокутних трикутників прийнято використовувати такі назви.

Гіпотенузою називають сторону прямокутного трикутника, що лежить проти прямого кута (рис. 2), дві інші сторони називають катетами.

Таблиця 4 - Ознаки рівності прямокутних трикутників

малюнок	Назва ознаки	формулювання ознаки
	по двом катетам
	Ознака рівності прямокутних трикутників по катету і прилеглому гострого кута
	Ознака рівності прямокутних трикутників по катету і протилежного гострого кута	Якщо катет і протилежний гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно рівні катета і протилежного гострого кута іншого прямокутного трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні
	Ознака рівності прямокутних трикутників по гіпотенузі і гострому куту	Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно рівні гіпотенузі і гострому куту іншого прямокутного трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні
	Ознака рівності прямокутних трикутників по катету і гіпотенузі	Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника відповідно рівні катета і гіпотенузи іншого прямокутного трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні

Ознака рівності прямокутних трикутників за двома катетам

формулювання ознаки. Якщо два катета одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам іншого прямокутного трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні

Ознака рівності прямокутних трикутників по катету і прилеглому гострого кута

формулювання ознаки. Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно рівні катета і прилеглому до нього гострого кута іншого прямокутного трикутника, то такі прямокутні трикутники рівні

Ознака рівності прямокутних трикутників по катету і протилежного гострого кута

трикутник  - це багатокутник з 3-ма сторонами (або 3-ма кутами). Сторони трикутника нерідко позначаються маленькими літерами, які відповідають великим буквах, що позначає зворотні вершини.

гострокутним трикутником  іменується трикутник, у якого всі три кути гострі.

тупоугольние трикутником іменується трикутник, у якого один з кутів тупий.

прямокутним трикутником  іменується трикутник, у якого один з кутів прямий, іншими словами дорівнює 90 °; боку a, b, що утворюють прямий кут, називаються катетами; сторона c, зворотна прямого кута, називається гипотенузой.

рівнобедреним трикутником  іменується трикутник, у якого дві його сторони рівні (a \u003d c); ці рівні сторони називаються бічними, 3-тя сторона іменується підставою трикутника.

рівностороннім трикутником  іменується трикутник, у якого всі його сторони рівні (a \u003d b \u003d c). У тому випадку в трикутнику не дорівнює жодна з його сторін (abc), то це нерівносторонні трикутник.

Головні характеристики трикутників

У будь-якому трикутнику:

Проти більшої сторони лежить більший кут, і навпаки.

Проти рівних сторін лежать рівні кути, і навпаки. А саме, всі кути в рівносторонньому трикутнику рівні.

Сума кутів трикутника дорівнює 180 °.

Продовжуючи одну зі сторін трикутника, отримуємо зовнішній кут. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі внутрішніх кутів, не суміжних з нею.

Будь-яка сторона трикутника менша від суми 2-ух інших сторін і більше їх різниці (a b - c; b a - c; c a - b).

Ознаки рівності трикутників

Трикутники рівні, в тому випадку у їх відповідно рівні:

дві сторони і кут між ними;

два кути і прилегла до них сторона;

три сторони.

Ознаки рівності прямокутних трикутників

Два прямокутних трикутника рівні, в тому випадку проводиться одне з наступних умов:

рівні їх катети;

катет і гіпотенуза 1-го трикутника рівні катета і гіпотенузи іншого;

гіпотенуза і гострий кут 1-го трикутника рівні гіпотенузі і гострому куту іншого;

катет і прилеглий гострий кут 1-го трикутника рівні катета і прилеглому гострого кута іншого;

катет і протилежний гострий кут 1-го трикутника рівні катета і протилежного гострого кута іншого.

Висотатрикутника  - це перпендикуляр, опущений з будь-якої вершини на зворотну сторону (або її продовження). Ця сторона іменується підставою трикутника. Три висоти трикутника завжди перетинаються в одній точці, що називається ортоцентром трикутника.

Ортоцентр остроугольного трикутника розміщений всередині трикутника, а Ортоцентр тупоугольного трикутника - зовні; Ортоцентр прямокутного трикутника збігається з верхівкою прямого кута.

медіана - це відрізок, що з'єднує будь-яку верхівку трикутника з серединою зворотного боку. Три медіани трикутника перетинаються в одній точці, завжди лежить всередині трикутника і є його центром мас. Ця точка розділяє кожну медіану щодо 2: 1, рахуючи від вершини.

бісектриса  - це відрізок бісектриси кута від вершини до точки перетину з зворотною стороною. Три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, завжди лежить всередині трикутника і є центром вписаного кола. Бісектриса розділяє зворотну сторону на частини, пропорційні прилеглим сторонам.

серединний перпендикуляр  - це перпендикуляр, проведений із середньої точки відрізка (сторони). Три серединних перпендикуляра трикутника перетинаються в одній точці, яка є центром описаного кола.

У гострокутна трикутнику ця точка лежить всередині трикутника, в тупоугольного - зовні, в прямокутному - посеред гіпотенузи. Ортоцентр, центр мас, центр описаного і центр вписаного кола збігаються виключно в рівносторонньому трикутнику.

аксіома Піфагора

У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.

Підтвердження аксіоми Піфагора

Побудуємо квадрат AKMB, використовуючи гіпотенузи AB як сторону. Потім продовжимо боку прямокутного трикутника ABC так, щоб отримати квадрат CDEF, сторона якого дорівнює a + b. Зараз ясно, що площа квадрата CDEF дорівнює (a + b) 2. З іншого боку, ця площа дорівнює сумі площ чотирьох прямокутних трикутників і квадрата AKMB, іншими словами,

c 2 + 4 (ab / 2) \u003d c 2 + 2 ab,

c 2 + 2 ab \u003d (a + b) 2,

і зовсім маємо:

c 2 \u003d a 2 + b 2.

Співвідношення сторін у випадковому трикутнику

У загальному випадку (для випадкового трикутника) маємо:

c 2 \u003d a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,

де С - кут між сторонами а і b.

school-club.ru - які бувають трикутники?

math.ru - види трикутників;

raduga.rkc-74.ru - все про трикутниках для найменших.

Додатково на сайт:

Як класифікуються трикутники?

Як відшукати площа трикутника?

Як відшукати площа прямокутного трикутника?

Як відшукати радіус вписаного в трикутник кола?

Як відшукати радіус описаної навколо трикутника кола?

Як довести аксіому косинусів?

Сьогодні ми вирушаємо в країну Геометрія, де познайомимося з різними видами трикутників.

Розгляньте геометричні фігури і знайдіть серед них «зайву» (рис. 1).

Рис. 1. Ілюстрація до прикладу

Ми бачимо, що фігури № 1, 2, 3, 5 - чотирикутники. Кожна з них має свою назву (рис. 2).

Рис. 2. Чотирикутники

Значить, «зайвої» фігурою є трикутник (рис. 3).

Рис. 3. Ілюстрація наприклад

Трикутником називається фігура, яка складається з трьох точок, які не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, попарно з'єднують ці точки.

точки називаються вершинами трикутника, Відрізки - його сторонами. Сторони трикутника утворюють в вершинах трикутника три кути.

Основними ознаками трикутника є три сторони і три кути.  За величиною кута трикутники бувають гострокутні, прямокутні і тупоугольние.

Трикутник називається гострокутним, якщо всі три кута його гострі, тобто менше 90 ° (рис. 4).

Рис. 4. Гострокутний трикутник

Трикутник називається прямокутним, якщо один з його кутів дорівнює 90 ° (рис. 5).

Рис. 5. Прямокутний трикутник

Трикутник називається тупоугольние, якщо один з його кутів тупий, тобто більше 90 ° (рис. 6).

Рис. 6. тупоугольного трикутник

За кількістю рівних сторін трикутники бувають рівносторонні, рівнобедрені, різнобічні.

Рівнобедреним називається трикутник, у якого дві сторони рівні (рис. 7).

Рис. 7. Рівнобедрений трикутник

Ці сторони називаються бічними, третя сторона - підставою. У трикутник кути при основі рівні.

Трикутник бувають гострокутними і тупоугольного(Рис. 8) .

Рис. 8. Гострокутний і тупоугольние трикутник

Рівностороннім називається трикутник, у якого всі три сторони рівні (рис. 9).

Рис. 9. Рівносторонній трикутник

У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні. рівносторонній трикутники  завжди гострокутні.

Різнобічним називається трикутник, у якого всі три сторони мають різну довжину (рис. 10).

Рис. 10. Разносторонний трикутник

Виконайте завдання. Розподіліть дані трикутники на три групи (рис. 11).

Рис. 11. Ілюстрація до завдання

Спочатку розподілимо по величині кутів.

Гострокутні трикутники: № 1, № 3.

Прямокутні трикутники: № 2, № 6.

Тупоугольние трикутники: № 4, № 5.

Ці ж трикутники розподілимо на групи за кількістю рівних сторін.

Різнобічні трикутники: № 4, № 6.

Трикутник: № 2, № 3, № 5.

Рівносторонній трикутник: № 1.

Розгляньте малюнки.

Подумайте, з якого шматка дроту зробили кожен трикутник (рис. 12).

Рис. 12. Ілюстрація до завдання

Можна міркувати так.

Перший шматок дроту розділений на три рівні частини, тому з нього можна зробити рівносторонній трикутник. На малюнку він зображений третім.

Другий шматок дроту розділений на три різні частини, тому з нього можна зробити різнобічний трикутник. На малюнку він зображений першим.

Третій шматок дроту розділений на три частини, де дві частини мають однакову довжину, значить, з нього можна зробити трикутник. На малюнку він зображений другим.

Сьогодні на уроці ми познайомилися з різними видами трикутників.

Список літератури

1. М.І. Моро, М.А. Бантова і ін. Математика: Підручник. 3 клас: в 2-х частинах, частина 1. - М .: «Просвещение», 2012.
2. М.І. Моро, М.А. Бантова і ін. Математика: Підручник. 3 клас: в 2-х частинах, частина 2. - М .: «Просвещение», 2012.
3. М.І. Моро. Уроки математики: Методичні рекомендації для вчителя. 3 клас. - М .: Просвещение, 2012.
4. Нормативно-правовий документ. Контроль і оцінка результатів навчання. - М .: «Просвещение», 2011.
5. «Школа Росії»: Програми для початкової школи. - М .: «Просвещение», 2011.
6. С.І. Волкова. Математика: Перевірочні роботи. 3 клас. - М .: Просвещение, 2012.
7. В.Н. Рудницька. Тести. - М .: «Іспит», 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Домашнє завдання

1. Завершіть фрази.

а) Трикутником називається фігура, яка складається з ..., які не лежать на одній прямій, і ..., попарно з'єднують ці точки.

б) Точки називаються … , Відрізки - його … . Сторони трикутника утворюють в вершинах трикутника ….

в) За величиною кута трикутники бувають ..., ..., ....

г) За кількістю рівних сторін трикутники бувають ..., ..., ....

2. Накресліть

а) прямокутний трикутник;

б) гострокутний трикутник;

в) тупоугольние трикутник;

г) рівносторонній трикутник;

д) різносторонній трикутник;

е) трикутник.

3. Складіть завдання по темі уроку для своїх товаришів.

Сьогодні ми вирушаємо в країну Геометрія, де познайомимося з різними видами трикутників.

Розгляньте геометричні фігури і знайдіть серед них «зайву» (рис. 1).

Рис. 1. Ілюстрація до прикладу

Ми бачимо, що фігури № 1, 2, 3, 5 - чотирикутники. Кожна з них має свою назву (рис. 2).

Рис. 2. Чотирикутники

Значить, «зайвої» фігурою є трикутник (рис. 3).

Рис. 3. Ілюстрація наприклад

Трикутником називається фігура, яка складається з трьох точок, які не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, попарно з'єднують ці точки.

точки називаються вершинами трикутника, Відрізки - його сторонами. Сторони трикутника утворюють в вершинах трикутника три кути.

Основними ознаками трикутника є три сторони і три кути.  За величиною кута трикутники бувають гострокутні, прямокутні і тупоугольние.

Трикутник називається гострокутним, якщо всі три кута його гострі, тобто менше 90 ° (рис. 4).

Рис. 4. Гострокутний трикутник

Трикутник називається прямокутним, якщо один з його кутів дорівнює 90 ° (рис. 5).

Рис. 5. Прямокутний трикутник

Трикутник називається тупоугольние, якщо один з його кутів тупий, тобто більше 90 ° (рис. 6).

Рис. 6. тупоугольного трикутник

За кількістю рівних сторін трикутники бувають рівносторонні, рівнобедрені, різнобічні.

Рівнобедреним називається трикутник, у якого дві сторони рівні (рис. 7).

Рис. 7. Рівнобедрений трикутник

Ці сторони називаються бічними, третя сторона - підставою. У трикутник кути при основі рівні.

Трикутник бувають гострокутними і тупоугольного(Рис. 8) .

Рис. 8. Гострокутний і тупоугольние трикутник

Рівностороннім називається трикутник, у якого всі три сторони рівні (рис. 9).

Рис. 9. Рівносторонній трикутник

У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні. рівносторонній трикутники  завжди гострокутні.

Різнобічним називається трикутник, у якого всі три сторони мають різну довжину (рис. 10).

Рис. 10. Разносторонний трикутник

Виконайте завдання. Розподіліть дані трикутники на три групи (рис. 11).

Рис. 11. Ілюстрація до завдання

Спочатку розподілимо по величині кутів.

Гострокутні трикутники: № 1, № 3.

Прямокутні трикутники: № 2, № 6.

Тупоугольние трикутники: № 4, № 5.

Ці ж трикутники розподілимо на групи за кількістю рівних сторін.

Різнобічні трикутники: № 4, № 6.

Трикутник: № 2, № 3, № 5.

Рівносторонній трикутник: № 1.

Розгляньте малюнки.

Подумайте, з якого шматка дроту зробили кожен трикутник (рис. 12).

Рис. 12. Ілюстрація до завдання

Можна міркувати так.

Перший шматок дроту розділений на три рівні частини, тому з нього можна зробити рівносторонній трикутник. На малюнку він зображений третім.

Другий шматок дроту розділений на три різні частини, тому з нього можна зробити різнобічний трикутник. На малюнку він зображений першим.

Третій шматок дроту розділений на три частини, де дві частини мають однакову довжину, значить, з нього можна зробити трикутник. На малюнку він зображений другим.

Сьогодні на уроці ми познайомилися з різними видами трикутників.

Список літератури

1. М.І. Моро, М.А. Бантова і ін. Математика: Підручник. 3 клас: в 2-х частинах, частина 1. - М .: «Просвещение», 2012.
2. М.І. Моро, М.А. Бантова і ін. Математика: Підручник. 3 клас: в 2-х частинах, частина 2. - М .: «Просвещение», 2012.
3. М.І. Моро. Уроки математики: Методичні рекомендації для вчителя. 3 клас. - М .: Просвещение, 2012.
4. Нормативно-правовий документ. Контроль і оцінка результатів навчання. - М .: «Просвещение», 2011.
5. «Школа Росії»: Програми для початкової школи. - М .: «Просвещение», 2011.
6. С.І. Волкова. Математика: Перевірочні роботи. 3 клас. - М .: Просвещение, 2012.
7. В.Н. Рудницька. Тести. - М .: «Іспит», 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Домашнє завдання

1. Завершіть фрази.

а) Трикутником називається фігура, яка складається з ..., які не лежать на одній прямій, і ..., попарно з'єднують ці точки.

б) Точки називаються … , Відрізки - його … . Сторони трикутника утворюють в вершинах трикутника ….

в) За величиною кута трикутники бувають ..., ..., ....

г) За кількістю рівних сторін трикутники бувають ..., ..., ....

2. Накресліть

а) прямокутний трикутник;

б) гострокутний трикутник;

в) тупоугольние трикутник;

г) рівносторонній трикутник;

д) різносторонній трикутник;

е) трикутник.

3. Складіть завдання по темі уроку для своїх товаришів.

Найпростіший багатокутник, який вивчається в школі - це трикутник. Він більш зрозумілий для учнів і зустрічає менше труднощів. Незважаючи на те що існують різні види трикутників, у яких є особливі властивості.

Яка фігура називається трикутником?

Освічена трьома крапками і відрізками. Перші називаються вершинами, другі - сторонами. Причому всі три відрізка повинні бути з'єднані, щоб між ними утворювалися кути. Звідси і назва фігури «трикутник».

Відмінності в назвах по кутах

Оскільки вони можуть бути гострими, тупими і прямими, то і види трикутників визначаються за цими назвами. Відповідно, груп таких фігур три.

• Перша. Якщо всі кути трикутника гострі, то він буде мати назву остроугольного. Все логічно.

• Друга. Один з кутів тупий, значить трикутник тупоугольние. Простіше нікуди.

• Третя. Є кут, рівний 90 градусам, який називається прямим. Трикутник стає прямокутним.

Відмінності в назвах по сторонам

Залежно від особливостей сторін виділяють такі види трикутників:

загальний випадок - різнобічний, в якому всі сторони мають довільну довжину;

рівнобедрений, у двох сторін якого є однакові числові значення;

рівносторонній, довжини всіх його сторін однакові.

Якщо в задачі не вказано конкретний вид трикутника, то потрібно креслити довільний. У якого всі кути гострі, а сторони мають різну довжину.

Властивості, загальні для всіх трикутників

1. Якщо скласти всі кути трикутника, то вийде число, що дорівнює 180º. І неважливо, якого він виду. Це правило діє завжди.
2. Числове значення будь-якого боку трикутника менше, ніж складені разом дві інші. При цьому вона ж більше, ніж їх різницю.
3. Кожен зовнішній кут має значення, яке виходить при додаванні двох внутрішніх, не суміжних з нею. Причому він завжди більше, ніж суміжний з ним внутрішній.
4. Навпаки меншої сторони трикутника завжди лежить найменший кут. І навпаки, якщо сторона велика, то і кут буде найбільшим.

Ці властивості справедливі завжди, які б види трикутників ні розглядалися в задачах. Всі інші випливають з конкретних особливостей.

Властивості рівнобедреного трикутника

• Кути, які прилягають до основи, рівні.
• Висота, яка проведена до основи, є також медіаною і бісектрисою.
• Висоти, медіани і бісектриси, які побудовані до бічних сторонах трикутника, відповідно рівні один одному.

Властивості рівностороннього трикутника

Якщо є така фігура, то будуть вірні всі властивості, описані трохи вище. Тому що рівносторонній завжди буде рівнобедреним. Але не навпаки, трикутник не обов'язково буде рівностороннім.

• Всі його кути дорівнюють один одному і мають значення 60º.
• Будь-яка медіана рівностороннього трикутника є його висотою і бісектрисою. Причому вони всі рівні один одному. Для визначення їх значень існує формула, яка складається з твору боку на квадратний корінь з 3, поділеної на 2.

Властивості прямокутного трикутника

• Два гострих кута дають в сумі значення в 90º.
• Довжина гіпотенузи завжди більше, ніж у будь-якого з катетів.
• Числове значення медіани, проведеної до гіпотенузи, дорівнює її половині.
• Цьому ж значенню дорівнює катет, якщо він лежить навпроти кута в 30º.
• Висота, яка проведена з вершини зі значенням 90º, має певну математичну залежність від катетів: 1 / н 2 \u003d 1 / а 2 + 1 / в 2. Тут: а, в - катети, н - висота.

Завдання з різними видами трикутників

№1. Дан трикутник. Його периметр відомий і дорівнює 90 см. Потрібно дізнатися його боку. В якості додаткового умови: бічна сторона менше підстави в 1,2 рази.

Значення периметра безпосередньо залежить від тих величин, які потрібно знайти. Сума всіх трьох сторін і дасть 90 см. Тепер потрібно згадати ознака трикутника, по якому він є рівнобедреним. Тобто дві сторони рівні. Можна скласти рівняння з двома невідомими: 2а + в \u003d 90. Тут а - бічна сторона, в - підстава.

Настала черга додатковою умовою. Слідуючи йому, виходить друге рівняння: в \u003d 1,2А. Можна виконати підстановку цього виразу в перше. Вийде: 2а + 1,2А \u003d 90. Після перетворень: 3,2а \u003d 90. Звідси а \u003d 28,125 (см). Тепер нескладно дізнатися підставу. Найкраще це зробити з другої умови: в \u003d 1,2 * 28,125 \u003d 33,75 (см).

Для перевірки можна скласти три значення: 28,125 * 2 + 33,75 \u003d 90 (см). Все вірно.

Відповідь: сторони трикутника рівні 28,125 см, 28,125 см, 33,75 см.

№2. Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 12 см. Потрібно обчислити його висоту.

Рішення. Для пошуку відповіді досить повернутися до того моменту, де були описані властивості трикутника. Так вказана формула для знаходження висоти, медіани і бісектриси рівностороннього трикутника.

н \u003d а * √3 / 2, де н - висота, а - сторона.

Підстановка і обчислення дають такий результат: н \u003d 6 √3 (см).

Цю формулу необов'язково запам'ятовувати. Досить згадати, що висота ділить трикутник на два прямокутних. Причому вона виявляється катетом, а гіпотенуза в ньому - це сторона вихідного, другий катет - половина відомої боку. Тепер потрібно записати теорему Піфагора і вивести формулу для висоти.

Відповідь: висота дорівнює 6 √3 см.

№3. Дан МКР - трикутник, 90 градусів в якому становить кут К. Відомі боку МР і КР, вони дорівнюють відповідно 30 і 15 см. Потрібно дізнатися значення кута Р.

Рішення. Якщо зробити креслення, то стає ясно, що МР - гіпотенуза. Причому вона в два рази більше катета КР. Знову потрібно звернутися до властивостей. Одне з них якраз пов'язане з кутами. З нього зрозуміло, що кут КМР дорівнює 30º. Значить шуканий кут Р буде дорівнює 60º. Це випливає з іншого властивості, яке стверджує, що сума двох гострих кутів повинна дорівнювати 90º.

Відповідь: кут Р дорівнює 60º.

№4. Потрібно знайти всі кути рівнобедреного трикутника. Про нього відомо, що зовнішній кут від кута при підставі дорівнює 110º.

Рішення. Оскільки дана тільки зовнішній кут, то цим і потрібно скористатися. Він утворює з внутрішнім кутом розгорнутий. Значить в сумі вони дадуть 180º. Тобто кут при основі трикутника буде дорівнює 70º. Так як він рівнобедрений, то другий кут має таке ж значення. Залишилося обчислити третій кут. По властивості, загальним для всіх трикутників, сума кутів дорівнює 180º. Значить, третій визначиться як 180º - 70º - 70º \u003d 40º.

Відповідь: кути рівні 70º, 70º, 40º.

№5. Відомо, що в трикутник кут, що лежить навпроти підстави, дорівнює 90º. На підставі відзначена точка. Відрізок, що з'єднує її з прямим кутом, ділить його у відношенні 1 до 4. Потрібно дізнатися всі кути меншого трикутника.

Рішення. Один з кутів можна визначити відразу. Оскільки трикутник прямокутний і рівнобедрений, то ті, що лежать в його основі, будуть по 45º, тобто по 90º / 2.

Другий з них допоможе знайти відоме в умови відношення. Оскільки воно дорівнює 1 до 4, то частин, на які він ділиться виходить всього 5. Значить, щоб дізнатися менший кут трикутника потрібно 90º / 5 \u003d 18º. Залишилося дізнатися третій. Для цього з 180º (суми всіх кутів трикутника) потрібно відняти 45º і 18º. Обчислення нескладні, і вийде: 117º.