Hur man faktoriserar ett kvadratiskt trinomium: formel
Att expandera polynom för att få en produkt verkar ibland förvirrande. Men det är inte så svårt om du förstår processen steg för steg. Artikeln beskriver hur man faktoriserar ett kvadratiskt trinomium.
Många förstår inte hur man faktoriserar ett kvadratiskt trinomium, och varför detta görs. Till en början kan det tyckas att detta är en värdelös övning. Men i matematik görs ingenting bara så. Omvandlingen är nödvändig för att förenkla uttrycket och bekvämligheten med beräkningen.
Ett polynom med formen - ax² + bx + c, kallas kvadrattrinomial. Termen "a" måste vara negativ eller positiv. I praktiken kallas detta uttryck för en andragradsekvation. Därför säger de ibland annorlunda: hur man utökar en andragradsekvation.
Intressant! Ett kvadratiskt polynom kallas på grund av sin största grad - en kvadrat. Och ett trinomial - på grund av de 3 komponenttermerna.
Några andra typer av polynom:
- linjär binomial (6x+8);
- kubisk fyrhörning (x³+4x²-2x+9).
Faktorisering av ett kvadratiskt trinomium
Först är uttrycket lika med noll, sedan måste du hitta värdena för rötterna x1 och x2. Det kanske inte finns några rötter, det kan finnas en eller två rötter. Förekomsten av rötter bestäms av diskriminanten. Dess formel måste vara känd utantill: D=b²-4ac.
Om resultatet av D är negativt finns det inga rötter. Om det är positivt, finns det två rötter. Om resultatet är noll är roten ett. Rötterna beräknas också med formeln.
Om beräkningen av diskriminanten resulterar i noll kan du använda vilken som helst av formlerna. I praktiken är formeln helt enkelt förkortad: -b / 2a.
Formler för olika värderingar av diskriminanten är olika.
Om D är positivt:
Om D är noll:
Miniräknare online
Det finns en online-kalkylator på Internet. Det kan användas för att faktorisera. Vissa resurser ger möjlighet att se lösningen steg för steg. Sådana tjänster hjälper till att bättre förstå ämnet, men du måste försöka förstå det väl.
Användbar video: Factoring av ett kvadratiskt trinomium
Exempel
Vi föreslår att vi tittar på enkla exempel på hur man faktoriserar en andragradsekvation.
Exempel 1
Här visas tydligt att resultatet blir två x, eftersom D är positivt. De måste ersättas i formeln. Om rötterna är negativa, är tecknet i formeln omvänt.
Vi känner till formeln för faktorisering av ett kvadratiskt trinomium: a(x-x1)(x-x2). Vi sätter värdena inom parentes: (x+3)(x+2/3). Det finns inget tal före termen i exponenten. Det betyder att det finns en enhet, den är sänkt.
Exempel 2
Detta exempel visar tydligt hur man löser en ekvation som har en rot.
Ersätt det resulterande värdet:
Exempel 3
Givet: 5x²+3x+7
Först beräknar vi diskriminanten, som i de tidigare fallen.
D=9-4*5*7=9-140= -131.
Diskriminanten är negativ, vilket betyder att det inte finns några rötter.
Efter att ha mottagit resultatet är det värt att öppna fästena och kontrollera resultatet. Det ursprungliga trinomialet ska visas.
Alternativ lösning
Vissa människor har aldrig kunnat bli vän med diskriminanten. Det finns ett annat sätt att faktorisera ett kvadratiskt trinomium. För enkelhetens skull visas metoden i ett exempel.
Givet: x²+3x-10
Vi vet att vi ska sluta med 2 parenteser: (_)(_). När uttrycket ser ut så här: x² + bx + c sätter vi x i början av varje parentes: (x_) (x_). De återstående två siffrorna är produkten som ger "c", dvs -10 i detta fall. För att ta reda på vilka dessa siffror är kan du bara använda urvalsmetoden. Ersatta nummer måste matcha den återstående termen.
Till exempel, multiplicera följande tal ger -10:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nej.
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nej.
- (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nej.
- (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Passar.
Så transformationen av uttrycket x2+3x-10 ser ut så här: (x-2)(x+5).
Viktig! Du bör vara försiktig så att du inte förväxlar tecknen.
Nedbrytning av ett komplext trinomium
Om "a" är större än ett börjar svårigheterna. Men allt är inte så svårt som det verkar.
För att faktorisera måste man först se om det är möjligt att faktorisera något.
Till exempel, givet uttrycket: 3x²+9x-30. Här tas siffran 3 ur parentes:
3(x²+3x-10). Resultatet är det redan kända trinomialet. Svaret ser ut så här: 3(x-2)(x+5)
Hur bryts ner om termen som är kvadratisk är negativ? I detta fall tas siffran -1 ut ur konsolen. Till exempel: -x²-10x-8. Uttrycket kommer då att se ut så här:
Systemet skiljer sig lite från det tidigare. Det finns bara några få nya saker. Låt oss säga att uttrycket är givet: 2x²+7x+3. Svaret skrivs också inom 2 parenteser som ska fyllas i (_) (_). X skrivs i 2:a parentes, och vad som är kvar i 1:a. Det ser ut så här: (2x_)(x_). Annars upprepas det tidigare schemat.
Siffran 3 ger siffrorna:
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
Vi löser ekvationer genom att ersätta de givna talen. Det sista alternativet passar. Så transformationen av uttrycket 2x²+7x+3 ser ut så här: (2x+1)(x+3).
Andra fall
Det är inte alltid möjligt att omvandla ett uttryck. I den andra metoden krävs inte lösningen av ekvationen. Men möjligheten att omvandla termer till en produkt kontrolleras endast genom diskriminanten.
Det är värt att träna på att lösa andragradsekvationer så att det inte blir några svårigheter när man använder formler.
Användbar video: faktorisering av ett trinomial
Slutsats
Du kan använda den på vilket sätt som helst. Men det är bättre att arbeta både till automatism. De som ska koppla ihop sina liv med matematik behöver också lära sig att lösa andragradsekvationer väl och bryta ner polynom i faktorer. Alla följande matematiska ämnen bygger på detta.
