Veiksmas su paprastosiomis trupmenomis. Bendri veiksmai su paprastosiomis ir dešimtainėmis trupmenomis

Trupmenos yra paprastosios ir dešimtainės. Sužinojęs apie pastarojo egzistavimą, mokinys kiekviena proga pradeda versti viską, kas įmanoma, į dešimtainę formą, net jei to nereikia.

Kaip bebūtų keista, gimnazistų ir studentų pageidavimai keičiasi, nes su paprastosiomis trupmenomis lengviau atlikti daugelį aritmetinių operacijų. Ir vertybių, su kuriomis susiduria absolventai, kartais gali būti tiesiog neįmanoma konvertuoti į dešimtainę formą be nuostolių. Dėl to abiejų tipų trupmenos vienaip ar kitaip yra pritaikytos konkrečiam atvejui ir turi savų privalumų bei trūkumų. Pažiūrėkime, kaip su jais dirbti.

Apibrėžimas

Trupmenos yra tos pačios dalys. Jei apelsine yra dešimt griežinėlių, o jums buvo duota viena, tada jūs turite 1/10 vaisiaus rankoje. Naudojant tokį žymėjimą, kaip ir ankstesniame sakinyje, trupmena bus vadinama įprasta trupmena. Jei rašote tą patį kaip 0,1 – dešimtainis. Abu variantai yra vienodi, tačiau turi savų pranašumų. Pirmasis variantas yra patogesnis daugybai ir dalijimui, antrasis - sudėti, atimti ir daugeliu kitų atvejų.

Kaip paversti trupmeną į kitą formą

Tarkime, kad turite bendrąją trupmeną ir norite ją konvertuoti į dešimtainę. Ką man reikia daryti?

Beje, jūs turite iš anksto nuspręsti, kad joks skaičius negali būti parašytas dešimtaine forma be problemų. Kartais tenka suapvalinti rezultatą, prarandant tam tikrą skaičių po kablelio, o daugelyje sričių – pavyzdžiui, tiksliuosiuose moksluose – tai visiškai neįperkama prabanga. Tuo pačiu metu veiksmai su dešimtainėmis ir paprastosiomis trupmenomis 5 klasėje leidžia atlikti tokį perkėlimą iš vieno tipo į kitą be trukdžių, bent jau kaip mokymą.

Jei iš vardiklio, padauginus ar padalijus iš sveikojo skaičiaus, galite gauti reikšmę, kuri yra 10 kartotinė, perkėlimas praeis be jokių sunkumų: ¾ virsta 0,75, 13/20 - 0,65.

Atvirkštinė procedūra dar paprastesnė, nes visada galite gauti paprastąją trupmeną iš dešimtainės trupmenos neprarandant tikslumo. Pavyzdžiui, 0,2 tampa 1/5, o 0,08 tampa 4/25.

Vidinės konversijos

Prieš atlikdami bendrus veiksmus su paprastosiomis trupmenomis, turite paruošti skaičius galimoms matematinėms operacijoms.

Visų pirma, visas pavyzdyje pateiktas trupmenas reikia sujungti į vieną bendrą formą. Jie turi būti įprasti arba dešimtainiai. Nedelsdami padarykite išlygą, kad daugyba ir padalijimas yra patogiau atlikti su pirmuoju.

Rengiant skaičius tolesniems veiksmams, jums padės taisyklė, žinoma ir naudojama tiek pirmaisiais dalyko studijų metais, tiek aukštojoje matematikoje, kuri studijuojama universitetuose.

Frakcijos savybės

Tarkime, kad turite tam tikrą vertę. Tarkime, 2/3. Kas atsitiks, jei skaitiklį ir vardiklį padauginsite iš 3? Gaukite 6/9. O jei tai milijonas? 2000000/3000000. Bet palaukite, nes skaičius kokybiškai nesikeičia – 2/3 lieka lygūs 2000000/3000000. Keičiasi tik forma, o ne turinys. Tas pats atsitinka, kai abi dalys yra padalintos iš tos pačios vertės. Tai yra pagrindinė trupmenos savybė, kuri pakartotinai padės atlikti veiksmus su dešimtainėmis ir paprastosiomis trupmenomis atliekant testus ir egzaminus.

Skaitiklio ir vardiklio dauginimas iš to paties skaičiaus vadinamas trupmenos išplėtimu, o dalijimas – sumažinimu. Turiu pasakyti, kad tų pačių skaičių perbraukimas viršuje ir apačioje dauginant ir dalijant trupmenas yra stebėtinai maloni procedūra (žinoma, kaip matematikos pamokos dalis). Atrodo, kad atsakymas jau arti ir pavyzdys praktiškai išspręstas.

Netinkamos trupmenos

Netinkama trupmena yra ta, kurios skaitiklis yra didesnis už vardiklį arba jam lygus. Kitaip tariant, jei nuo jos galima atskirti visą dalį, ji patenka į šį apibrėžimą.

Jei toks skaičius (didesnis arba lygus vienetui) pateikiamas kaip įprasta trupmena, jis bus vadinamas netinkamu. O jei skaitiklis mažesnis už vardiklį – teisingai. Abu tipai yra vienodai patogūs atliekant galimus veiksmus su paprastosiomis trupmenomis. Juos galima laisvai dauginti ir dalyti, sudėti ir atimti.

Jei tuo pačiu metu pasirenkama sveikoji dalis ir tuo pačiu metu yra trupmenos formos liekana, gautas skaičius bus vadinamas mišriu. Ateityje susidursite su įvairiais būdais, kaip tokias struktūras derinti su kintamaisiais, taip pat spręsti lygtis, kur šios žinios reikalingos.

Aritmetiniai veiksmai

Jei su pagrindine trupmenos savybe viskas aišku, tai kaip elgtis dauginant trupmenas? Veiksmai su paprastosiomis trupmenomis 5 klasėje apima visas aritmetines operacijas, kurios atliekamos dviem skirtingais būdais.

Daugyba ir dalyba yra labai paprasta. Pirmuoju atveju dviejų trupmenų skaitikliai ir vardikliai tiesiog dauginami. Antroje – tas pats, tik skersai. Taigi pirmosios trupmenos skaitiklis dauginamas iš antrosios vardiklio ir atvirkščiai.

Norėdami atlikti sudėjimą ir atimtį, turite atlikti papildomą veiksmą – suvesti visus išraiškos komponentus į bendrą vardiklį. Tai reiškia, kad apatinės trupmenų dalys turi būti pakeistos į tą pačią reikšmę – abiejų galimų vardiklių kartotinį. Pavyzdžiui, 2 ir 5 bus 10. 3 ir 6 - 6. Bet ką tada daryti su viršutine dalimi? Negalime palikti to taip, kaip buvo, jei pakeistume apatinį. Pagal pagrindinę trupmenos savybę skaitiklį padauginame iš to paties skaičiaus kaip ir vardiklį. Ši operacija turi būti atlikta su kiekvienu skaičiumi, kurį pridėsime arba atimsime. Tačiau tokie veiksmai su paprastosiomis trupmenomis 6 klasėje jau atliekami „mašinoje“, o sunkumų kyla tik pradiniame temos tyrimo etape.

Palyginimas

Jei dvi trupmenos turi tą patį vardiklį, tada ta, kurios skaitiklis didesnis, bus didesnis. Jei viršutinės dalys yra vienodos, tada ta, kurios vardiklis mažesnis, bus didesnė. Reikėtų nepamiršti, kad tokių sėkmingų situacijų palyginimui pasitaiko retai. Labiausiai tikėtina, kad tiek viršutinė, tiek apatinė posakių dalys nesutaps. Tada reikia prisiminti apie galimus veiksmus su paprastosiomis trupmenomis ir naudoti pridėjimo ir atimties techniką. Be to, atminkite, kad jei mes kalbame apie neigiamus skaičius, tada didesnė modulio dalis bus mažesnė.

Paprastųjų trupmenų privalumai

Pasitaiko, kad mokytojai vaikams pasako vieną frazę, kurios turinys gali būti išreikštas taip: kuo daugiau informacijos pateikiama formuluojant užduotį, tuo lengvesnis sprendimas. Ar tai skamba keistai? Bet iš tikrųjų: turėdami daug žinomų reikšmių, galite naudoti beveik bet kokią formulę, tačiau jei pateikiami tik keli skaičiai, gali prireikti papildomų apmąstymų, turėsite prisiminti ir įrodyti teoremas, pateikti argumentus savo teisumo naudai. ...

Kodėl mes tai darome? Be to, paprastos trupmenos, nepaisant jų sudėtingumo, gali labai supaprastinti studento gyvenimą, leisdamos sumažinti ištisas verčių eilutes dauginant ir dalijant, o skaičiuojant sumą ir skirtumą, pašalinti bendrus argumentus ir , vėlgi, sumažinkite juos.

Kai reikia atlikti bendrus veiksmus su paprastosiomis ir dešimtainėmis trupmenomis, transformacijos atliekamos pirmosios naudai: kaip konvertuoti 3/17 į dešimtainę formą? Tik su informacijos praradimu, o ne kitaip. Bet 0,1 gali būti pavaizduotas kaip 1/10, o tada kaip 17/170. Tada du gautus skaičius gali būti pridedami arba atimami: 30/170 + 17/170 = 47/170.

Kodėl dešimtainės dalys naudingos?

Jei veiksmus su paprastosiomis trupmenomis atlikti yra patogiau, tada su jų pagalba viską užrašyti yra labai nepatogu, dešimtainės trupmenos turi didelį pranašumą. Palyginkite: 1748/10000 ir 0,1748. Tai ta pati vertė, pateikta dviem skirtingomis versijomis. Žinoma, antrasis būdas yra lengvesnis!

Be to, dešimtaines dalis lengviau atvaizduoti, nes visi duomenys turi bendrą bazę, kuri skiriasi tik dydžiu. Tarkime, nesunkiai atpažinsime 30% nuolaidą ir netgi įvertinsime kaip reikšmingą. Ar iš karto suprasite, kas daugiau – 30% ar 137/379? Taigi, dešimtainės trupmenos užtikrina skaičiavimų standartizavimą.

Vidurinėje mokykloje mokiniai sprendžia kvadratines lygtis. Čia jau labai problematiška atlikti veiksmus su paprastosiomis trupmenomis, nes kintamojo reikšmių skaičiavimo formulėje yra sumos kvadratinė šaknis. Esant trupmenai, kuri nesumažinama iki kablelio, sprendimas tampa toks sudėtingas, kad be skaičiuoklės tikslaus atsakymo apskaičiuoti tampa beveik neįmanoma.

Taigi kiekvienas trupmenų vaizdavimo būdas turi savų pranašumų atitinkamame kontekste.

Įėjimo formos

Yra du būdai, kaip rašyti veiksmus su paprastomis trupmenomis: per horizontalią liniją į dvi „pakopas“ ir per pasvirąjį brūkšnį (dar žinomas kaip „brūkšnys“) - į eilutę. Kai mokinys rašo į sąsiuvinį, pirmasis variantas dažniausiai yra patogesnis, taigi ir dažnesnis. Skaičių paskirstymas į ląsteles padeda ugdyti dėmesingumą atliekant skaičiavimus ir transformacijas. Rašydami į eilutę galite netyčia supainioti veiksmų tvarką, prarasti bet kokius duomenis – tai yra padaryti klaidą.

Gana dažnai mūsų laikais reikia spausdinti skaičius kompiuteryje. Galite atskirti trupmenas naudodami tradicinę horizontalią juostą, naudodami funkciją Microsoft Word 2010 ir naujesnėje versijoje. Faktas yra tas, kad šiose programinės įrangos versijose yra parinktis, vadinama „formule“. Rodomas stačiakampis transformuojamas laukas, kuriame galite derinti bet kokius matematinius simbolius, sudaryti ir dviejų, ir „keturių aukštų“ trupmenas. Vardiklyje ir skaitiklyje galite naudoti skliaustus, operacijos ženklus. Dėl to bet kokius bendrus veiksmus galėsite užrašyti paprastosiomis ir dešimtainėmis trupmenomis tradicine forma, ty taip, kaip jie moko tai daryti mokykloje.

Jei naudojate standartinę Notepad teksto rengyklę, visos trupmeninės išraiškos turės būti parašytos pasviruoju brūkšniu. Deja, kito kelio čia nėra.

Išvada

Taigi mes apsvarstėme visus pagrindinius veiksmus su paprastosiomis trupmenomis, kurių, pasirodo, nėra tiek daug.

Jei iš pradžių gali atrodyti, kad tai sudėtingas matematikos skyrius, tai tik laikinas įspūdis - atsiminkite, kažkada taip galvojote apie daugybos lentelę, o dar anksčiau - apie įprastas kopijas ir skaičiuojant nuo vieno iki dešimties.

Svarbu suprasti, kad kasdieniame gyvenime trupmenos naudojamos visur. Susidursite su pinigais ir inžineriniais skaičiavimais, informacinėmis technologijomis ir muzikiniu raštingumu, ir visur – visur! - atsiras trupmeniniai skaičiai. Todėl nepatingėkite ir nuodugniai išstudijuokite šią temą – juolab, kad tai nėra taip sunku.