Cómo factorizar un trinomio cuadrado: fórmula
Expandir polinomios para obtener un producto a veces parece confuso. Pero no es tan difícil si entiendes el proceso paso a paso. El artículo detalla cómo factorizar un trinomio cuadrado.
Muchos no entienden cómo factorizar un trinomio cuadrado y por qué se hace esto. Al principio puede parecer que se trata de un ejercicio inútil. Pero en matemáticas, nada se hace así. La transformación es necesaria para simplificar la expresión y la comodidad del cálculo.
Un polinomio que tiene la forma - ax² + bx + c, se llama trinomio cuadrado. El término "a" debe ser negativo o positivo. En la práctica, esta expresión se llama ecuación cuadrática. Por eso, a veces dicen de otra manera: cómo expandir una ecuación cuadrática.
¡Interesante! Un polinomio cuadrado se llama debido a su mayor grado: un cuadrado. Y un trinomio - debido a los 3 términos componentes.
Algunos otros tipos de polinomios:
- binomial lineal (6x+8);
- cuadrilátero cúbico (x³+4x²-2x+9).
Factorización de un trinomio cuadrado
Primero, la expresión es igual a cero, luego necesitas encontrar los valores de las raíces x1 y x2. Puede que no haya raíces, puede haber una o dos raíces. La presencia de raíces está determinada por el discriminante. Su fórmula debe saberse de memoria: D=b²-4ac.
Si el resultado de D es negativo, no hay raíces. Si es positivo, hay dos raíces. Si el resultado es cero, la raíz es uno. Las raíces también se calculan mediante la fórmula.
Si el cálculo del discriminante da como resultado cero, puedes aplicar cualquiera de las fórmulas. En la práctica, la fórmula simplemente se abrevia: -b / 2a.
Las fórmulas para diferentes valores del discriminante son diferentes.
Si D es positivo:
Si D es cero:
Calculadoras en línea
Hay una calculadora en línea en Internet. Se puede utilizar para factorizar. Algunos recursos brindan la oportunidad de ver la solución paso a paso. Dichos servicios ayudan a comprender mejor el tema, pero debe intentar comprenderlo bien.
Video útil: Factorización de un trinomio cuadrado
Ejemplos
Sugerimos mirar ejemplos simples de cómo factorizar una ecuación cuadrática.
Ejemplo 1
Aquí se muestra claramente que el resultado será dos x, porque D es positivo. Necesitan ser sustituidos en la fórmula. Si las raíces son negativas, se invierte el signo de la fórmula.
Conocemos la fórmula para factorizar un trinomio cuadrado: a(x-x1)(x-x2). Ponemos los valores entre paréntesis: (x+3)(x+2/3). No hay número antes del término en el exponente. Esto significa que hay una unidad, se baja.
Ejemplo 2
Este ejemplo muestra claramente cómo resolver una ecuación que tiene una raíz.
Sustituye el valor resultante:
Ejemplo 3
Dado: 5x²+3x+7
Primero, calculamos el discriminante, como en los casos anteriores.
D=9-4*5*7=9-140= -131.
El discriminante es negativo, lo que significa que no hay raíces.
Después de recibir el resultado, vale la pena abrir los corchetes y verificar el resultado. Debe aparecer el trinomio original.
Solución alternativa
Algunas personas nunca han podido entablar amistad con el discriminador. Hay otra manera de factorizar un trinomio cuadrado. Por conveniencia, el método se muestra en un ejemplo.
Dado: x²+3x-10
Sabemos que deberíamos terminar con 2 paréntesis: (_)(_). Cuando la expresión se ve así: x² + bx + c, ponemos x al principio de cada paréntesis: (x_) (x_). Los dos números restantes son el producto que da "c", es decir, -10 en este caso. Para averiguar cuáles son estos números, solo puede usar el método de selección. Los números sustituidos deben coincidir con el término restante.
Por ejemplo, multiplicar los siguientes números da -10:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. No.
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. No.
- (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. No.
- (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Encaja.
Entonces, la transformación de la expresión x2+3x-10 se ve así: (x-2)(x+5).
¡Importante! Debe tener cuidado de no confundir los signos.
Descomposición de un trinomio complejo
Si "a" es mayor que uno, comienzan las dificultades. Pero no todo es tan difícil como parece.
Para factorizar, primero hay que ver si es posible factorizar algo.
Por ejemplo, dada la expresión: 3x²+9x-30. Aquí el número 3 está fuera de paréntesis:
3(x²+3x-10). El resultado es el trinomio ya conocido. La respuesta se ve así: 3(x-2)(x+5)
¿Cómo se descompone si el término que se eleva al cuadrado es negativo? En este caso, el número -1 se elimina del paréntesis. Por ejemplo: -x²-10x-8. La expresión entonces se verá así:
El esquema difiere poco del anterior. Solo hay algunas cosas nuevas. Digamos que se da la expresión: 2x²+7x+3. La respuesta también se escribe entre 2 corchetes, los cuales se deben llenar con (_) (_). Se escribe X en el 2do paréntesis, y lo que queda en el 1ro. Se ve así: (2x_)(x_). En caso contrario, se repite el esquema anterior.
El número 3 da los números:
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
Resolvemos ecuaciones sustituyendo los números dados. La última opción encaja. Así que la transformación de la expresión 2x²+7x+3 se ve así: (2x+1)(x+3).
Otros casos
No siempre es posible transformar una expresión. En el segundo método, no se requiere la solución de la ecuación. Pero la posibilidad de convertir los términos en un producto sólo se comprueba a través del discriminante.
Vale la pena practicar la resolución de ecuaciones cuadráticas para que no haya dificultades al usar fórmulas.
Video útil: factorización de un trinomio
Conclusión
Puedes usarlo de cualquier manera. Pero es mejor trabajar tanto para el automatismo. Además, aquellos que van a conectar su vida con las matemáticas necesitan aprender a resolver bien ecuaciones cuadráticas y descomponer polinomios en factores. Todos los siguientes temas matemáticos se basan en esto.
