Acción con fracciones ordinarias. Acciones conjuntas con fracciones ordinarias y decimales

Las fracciones son ordinarias y decimales. Cuando el estudiante se entera de la existencia de este último, comienza en cada oportunidad de traducir todo lo que es posible en forma decimal, incluso si esto no es necesario.

Por extraño que parezca, las preferencias de los estudiantes y estudiantes de secundaria cambian, porque es más fácil realizar muchas operaciones aritméticas con fracciones ordinarias. Y los valores que manejan los graduados a veces pueden ser simplemente imposibles de convertir a una forma decimal sin pérdida. Como resultado, ambos tipos de fracciones se adaptan de una forma u otra al caso y tienen sus propias ventajas y desventajas. Veamos cómo trabajar con ellos.

Definición

Las fracciones son las mismas partes. Si hay diez rodajas en una naranja y te dieron una, entonces tienes 1/10 de la fruta en tu mano. Con tal notación, como en la oración anterior, la fracción se llamará fracción ordinaria. Si escribe lo mismo que 0.1 - decimal. Ambas opciones son iguales, pero tienen sus propias ventajas. La primera opción es más conveniente para la multiplicación y la división, la segunda, para la suma, la resta y en varios otros casos.

Cómo convertir una fracción a otra forma

Suponga que tiene una fracción común y desea convertirla a un decimal. ¿Que necesito hacer?

Por cierto, debe decidir de antemano que ningún número se puede escribir en forma decimal sin problemas. A veces hay que redondear el resultado, perdiendo un cierto número de decimales, y en muchas áreas -por ejemplo, en las ciencias exactas- es un lujo totalmente inasequible. Al mismo tiempo, las acciones con fracciones decimales y ordinarias en el 5º grado permiten realizar tal transferencia de un tipo a otro sin interferencia, al menos como entrenamiento.

Si del denominador, al multiplicar o dividir por un número entero, puede obtener un valor que es un múltiplo de 10, la transferencia pasará sin ninguna dificultad: ¾ se convierte en 0.75, 13/20 - en 0.65.

El procedimiento inverso es aún más fácil, ya que siempre se puede obtener una fracción ordinaria de una fracción decimal sin pérdida de precisión. Por ejemplo, 0,2 se convierte en 1/5 y 0,08 se convierte en 4/25.

Conversiones internas

Antes de realizar acciones conjuntas con fracciones ordinarias, debe preparar los números para posibles operaciones matemáticas.

En primer lugar, debe llevar todas las fracciones del ejemplo a una forma general. Deben ser ordinarios o decimales. Inmediatamente haga una reserva de que la multiplicación y la división son más convenientes para realizar con la primera.

Al preparar los números para acciones posteriores, lo ayudará una regla conocida como y utilizada tanto en los primeros años de estudio del tema como en matemáticas superiores, que se estudian en las universidades.

Propiedades de las fracciones

Supongamos que tiene algún valor. Digamos 2/3. ¿Qué sucede si multiplicas el numerador y el denominador por 3? Obtenga 6/9. ¿Y si es un millón? 2000000/3000000. Pero espere, porque el número no cambia cualitativamente en absoluto: 2/3 siguen siendo 2000000/3000000. Sólo cambia la forma, no el contenido. Lo mismo sucede cuando ambas partes se dividen por el mismo valor. Esta es la propiedad principal de la fracción, que lo ayudará repetidamente a realizar acciones con fracciones decimales y ordinarias en pruebas y exámenes.

Multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número se llama expandir una fracción, y dividir se llama reducir. Debo decir que tachar los mismos números en la parte superior e inferior al multiplicar y dividir fracciones es un procedimiento sorprendentemente agradable (como parte de una lección de matemáticas, por supuesto). Parece que la respuesta ya está cerca y el ejemplo está prácticamente resuelto.

fracciones impropias

Una fracción impropia es aquella en la que el numerador es mayor o igual que el denominador. En otras palabras, si una parte entera se puede distinguir de él, cae bajo esta definición.

Si tal número (mayor o igual a uno) se representa como una fracción ordinaria, se le llamará impropio. Y si el numerador es menor que el denominador, correcto. Ambos tipos son igualmente convenientes en la implementación de posibles acciones con fracciones ordinarias. Se pueden multiplicar y dividir, sumar y restar libremente.

Si al mismo tiempo se selecciona una parte entera y al mismo tiempo queda un resto en forma de fracción, el número resultante se llamará mixto. En el futuro, encontrará varias formas de combinar tales estructuras con variables, así como resolver ecuaciones donde se requiera este conocimiento.

Operaciones aritmeticas

Si todo está claro con la propiedad básica de una fracción, ¿cómo comportarse al multiplicar fracciones? Las acciones con fracciones ordinarias en el grado 5 involucran todo tipo de operaciones aritméticas que se realizan de dos maneras diferentes.

La multiplicación y la división son muy fáciles. En el primer caso, los numeradores y denominadores de dos fracciones simplemente se multiplican. En el segundo, lo mismo, solo transversalmente. Así, el numerador de la primera fracción se multiplica por el denominador de la segunda y viceversa.

Para realizar sumas y restas, debe realizar una acción adicional: llevar todos los componentes de la expresión a un denominador común. Esto significa que las partes inferiores de las fracciones deben cambiarse al mismo valor: un múltiplo de ambos denominadores disponibles. Por ejemplo, para 2 y 5 será 10. Para 3 y 6 - 6. Pero entonces, ¿qué hacer con la parte superior? No podemos dejarlo como estaba si cambiamos el de abajo. De acuerdo con la propiedad básica de una fracción, multiplicamos el numerador por el mismo número que el denominador. Esta operación hay que realizarla sobre cada uno de los números que vayamos a sumar o restar. Sin embargo, tales acciones con fracciones ordinarias en el sexto grado ya se realizan "en la máquina", y las dificultades surgen solo en la etapa inicial de estudiar el tema.

Comparación

Si dos fracciones tienen el mismo denominador, entonces la que tiene el numerador mayor será mayor. Si las partes superiores son iguales, entonces la que tiene el denominador más pequeño será más grande. Debe tenerse en cuenta que tales situaciones exitosas para la comparación rara vez ocurren. Lo más probable es que las partes superior e inferior de las expresiones no coincidan. Luego, debe recordar las posibles acciones con fracciones ordinarias y usar la técnica utilizada en la suma y la resta. Además, recuerda que si estamos hablando de números negativos, entonces la fracción más grande en módulo será más pequeña.

Ventajas de las fracciones comunes

Sucede que los maestros les dicen a los niños una frase, cuyo contenido se puede expresar de la siguiente manera: cuanta más información se dé al formular la tarea, más fácil será la solución. ¿Suena raro? Pero realmente: con una gran cantidad de valores conocidos, puede usar casi cualquier fórmula, pero si solo se proporcionan un par de números, es posible que se requieran reflexiones adicionales, tendrá que recordar y probar teoremas, dar argumentos a favor de su corrección ...

¿Por qué estamos haciendo esto? Además, las fracciones ordinarias, a pesar de su engorroso, pueden simplificar enormemente la vida de un estudiante, permitiéndole reducir líneas enteras de valores al multiplicar y dividir, y al calcular la suma y la diferencia, sacar argumentos comunes y , de nuevo, reducirlos.

Cuando se requiere realizar acciones conjuntas con fracciones ordinarias y decimales, se realizan transformaciones a favor de las primeras: ¿cómo se traduce 3/17 a forma decimal? Solo con pérdida de información, no de otra manera. Pero 0.1 se puede representar como 1/10 y luego como 17/170. Y luego se pueden sumar o restar los dos números resultantes: 30/170 + 17/170 = 47/170.

¿Por qué son útiles los decimales?

Si las acciones con fracciones ordinarias son más convenientes de realizar, entonces escribir todo con su ayuda es extremadamente inconveniente, los decimales tienen una ventaja significativa aquí. Comparar: 1748/10000 y 0,1748. Es el mismo valor presentado en dos versiones diferentes. ¡Por supuesto, la segunda forma es más fácil!

Además, los decimales son más fáciles de representar porque todos los datos tienen una base común que difiere solo en órdenes de magnitud. Digamos que podemos reconocer fácilmente un descuento del 30% e incluso evaluarlo como significativo. ¿Entenderá de inmediato qué es más: 30% o 137/379? Por lo tanto, las fracciones decimales proporcionan estandarización de los cálculos.

En la escuela secundaria, los estudiantes resuelven ecuaciones cuadráticas. Ya es extremadamente problemático realizar acciones con fracciones ordinarias aquí, ya que la fórmula para calcular los valores de la variable contiene la raíz cuadrada de la suma. En presencia de una fracción que no se puede reducir a un decimal, la solución se vuelve tan complicada que se vuelve casi imposible calcular la respuesta exacta sin una calculadora.

Entonces, cada forma de representar fracciones tiene sus propias ventajas en el contexto apropiado.

formas de entrada

Hay dos formas de escribir acciones con fracciones ordinarias: a través de una línea horizontal, en dos "niveles", y a través de una barra oblicua (también conocida como "barra oblicua"), en una línea. Cuando un estudiante escribe en un cuaderno, la primera opción suele ser más conveniente y, por lo tanto, más común. La distribución de una serie de números en celdas contribuye al desarrollo de la atención en los cálculos y transformaciones. Al escribir en una cadena, puede confundir inadvertidamente el orden de las acciones, perder datos, es decir, cometer un error.

Muy a menudo en nuestro tiempo existe la necesidad de imprimir números en una computadora. Puede separar fracciones con una barra horizontal tradicional usando una función en Microsoft Word 2010 y versiones posteriores. El caso es que en estas versiones del software existe una opción llamada "fórmula". Muestra un campo transformable rectangular dentro del cual puede combinar cualquier símbolo matemático, formar fracciones de dos y "cuatro pisos". En el denominador y el numerador, puede usar corchetes, signos de operación. Como resultado, podrás escribir cualquier acción conjunta con fracciones ordinarias y decimales en la forma tradicional, es decir, como te enseñan a hacerlo en la escuela.

Si usa el editor de texto estándar del Bloc de notas, entonces todas las expresiones fraccionarias deberán escribirse a través de una barra inclinada. Desafortunadamente, no hay otra manera aquí.

Conclusión

Así que hemos considerado todas las acciones básicas con fracciones ordinarias, que resulta que no son tantas.

Si al principio puede parecer que esta es una sección compleja de matemáticas, entonces esto es solo una impresión temporal; recuerde, una vez que pensó en la tabla de multiplicar, e incluso antes, sobre los cuadernos habituales y contar del uno al diez.

Es importante entender que las fracciones se usan en todas partes en la vida cotidiana. Se ocupará del dinero y los cálculos de ingeniería, la tecnología de la información y la alfabetización musical, y en todas partes, ¡en todas partes! - Aparecerán números fraccionarios. Por lo tanto, no sea perezoso y estudie este tema a fondo, especialmente porque no es tan difícil.