Números naturales que descubrieron. Estudio exacto: los números naturales son números, ejemplos y propiedades.
¿Qué son los números naturales y no naturales? ¿Cómo explicarle al niño, y quizás no al niño, cuáles son las diferencias entre ellos? Vamos a hacerlo bien. Hasta donde sabemos, los números no naturales y naturales se estudian en quinto grado, y nuestro objetivo es explicar a los estudiantes para que realmente entiendan y entiendan qué y cómo.
La historia
Los números naturales son uno de los viejos conceptos. Érase una vez, cuando las personas aún no podían contar y no tenían idea de los números, cuando necesitaban contar algo, por ejemplo, peces, animales, eliminaban puntos o rayas en varios objetos, como descubrieron más tarde los arqueólogos. En ese momento les era muy difícil vivir, pero la civilización se desarrolló primero en el sistema de números romanos, y luego en el sistema de números decimales. Ahora casi todos usan números arábigos
Todo sobre números naturales.
Los números naturales son números primos que usamos en nuestra vida diaria para contar objetos con el fin de determinar la cantidad y el orden. Actualmente, utilizamos el sistema de números decimales para registrar números. Para anotar cualquier número, usamos diez dígitos, de cero a nueve.
Los números naturales son aquellos números que usamos al contar objetos o al indicar el número de serie de algo. Ejemplo: 5, 368, 99, 3684.
La serie de números se refiere a números naturales que están ordenados en orden creciente, es decir. del uno al infinito Dicha serie comienza con el número más pequeño: 1, pero el mayor número natural no ocurre, ya que la serie de números es simplemente infinita.
En general, el cero no se considera un número natural, ya que significa la ausencia de algo, y el recuento de objetos también está ausente
El sistema de numeración árabe es un sistema moderno que usamos todos los días. Es una de las variantes del indio (decimal).
Este sistema de números se ha vuelto moderno debido al número 0, que los árabes inventaron. Antes de eso, estaba ausente en el sistema indio.
Números no naturales. Que es esto
Los números naturales no incluyen números negativos y no enteros. Entonces, ellos son - números no naturales
Los siguientes son ejemplos.
Los números no naturales son:
- Números negativos, por ejemplo: -1, -5, -36 ... y así sucesivamente.
- Números racionales, que se expresan en fracciones decimales: 4.5, -67, 44.6.
- En forma de una fracción simple: 1/2, 40 2/7, etc.
Números irracionales, como e \u003d 2.71828, √2 \u003d 1.41421 y similares.
Esperamos que te hayan ayudado mucho con números naturales y naturales. ¡Ahora será más fácil para usted explicar este tema a su bebé, y él lo aprenderá tan bien como los grandes matemáticos!
Los números naturales son uno de los conceptos matemáticos más antiguos.
En el pasado distante, las personas no sabían los números, y cuando necesitaban contar objetos (animales, peces, etc.), no lo hacían como lo hacemos ahora.
La cantidad de objetos se comparó con partes del cuerpo, por ejemplo, con los dedos en mi mano y dijo: "Tengo tantas nueces como dedos en mi mano".
Con el tiempo, la gente se dio cuenta de que cinco nueces, cinco cabras y cinco liebres tienen una propiedad común: su número es cinco.
Recuerda!
Números naturales - estos son números, comenzando desde 1, obtenidos al contar artículos.
1, 2, 3, 4, 5…
Número natural más pequeño — 1 .
Mayor número natural no existe
Al contar, no se usa el número cero. Por lo tanto, cero no se considera un número natural.
La gente aprendió a escribir números mucho más tarde que contar. En primer lugar, comenzaron a representar una unidad con un palo, luego con dos palos, el número 2, tres, el número 3.
| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …
Luego vinieron signos especiales para indicar números: los precursores de los números modernos. Los números que usamos para escribir números nacieron en India hace aproximadamente 1,500 años. Los árabes los trajeron a Europa, por lo que se llaman números arábigos.
Hay diez dígitos en total: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Usando estos números, puedes escribir cualquier número natural.
Recuerda!
Fila natural Es una secuencia de todos los números naturales:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
En una serie natural, cada número es 1 más que el anterior.
El número natural es infinito, el mayor número natural en él no existe.
El sistema de cuenta (numeración) que utilizamos se llama posicional decimal.
Decimal porque 10 unidades de cada dígito forman 1 unidad del dígito más alto. Posicional porque el valor de un dígito depende de su lugar en el registro del número, es decir, de la categoría en la que está registrado.
Importante!
Las clases que siguen a los mil millones se nombran de acuerdo con los nombres latinos de los números. Cada unidad siguiente contiene mil unidades anteriores.
- 1,000 billones \u003d 1,000,000,000,000 \u003d 1 trillón ("tres" en latín "tres")
- 1,000 trillion \u003d 1,000,000,000,000,000 \u003d 1 quadrillion ("quadra" en latín "cuatro")
- 1,000 quadrillion \u003d 1,000,000,000,000,000,000 \u003d 1 quintillion ("quinta" en latín es "cinco")
Sin embargo, los físicos han encontrado un número que excede el número de todos los átomos (las partículas más pequeñas de materia) en todo el Universo.
Este número ha recibido un nombre especial: googol. Googol es un número con 100 ceros.
Números naturales
La definición de números naturales son enteros positivos. Los números naturales se usan para contar objetos y muchos otros propósitos. Estos números son:
Esta es una serie natural de números.
¿Cero es un número natural? No, cero no es un número natural.
¿Cuántos números naturales hay? Hay un número infinito de números naturales.
¿Cuál es el número natural más pequeño? Una unidad es el entero positivo más pequeño.
¿Cuál es el mayor entero positivo? Es imposible especificar, porque hay un número infinito de números naturales.
La suma de los números naturales es un número natural. Entonces, la suma de los números naturales a y b:
El producto de los números naturales es un número natural. Entonces, el producto de los números naturales a y b:
c es siempre un número natural.
La diferencia de los números naturales No siempre es un número natural. Si la reducción es mayor que la resta, entonces la diferencia de los números naturales es un número natural, de lo contrario no lo es.
El cociente de los números naturales No siempre es un número natural. Si para números naturales a y b
donde c es un número entero positivo, esto significa que a es divisible por b por completo. En este ejemplo, a es un dividendo, b es un divisor, c es un cociente.
Un divisor de un número natural es un número natural por el cual el primer número es divisible por completo.
Cada número natural se divide por uno y por sí mismo.
Los números naturales primos se dividen solo por uno y por sí mismos. Aquí, significan completamente divididos. Ejemplo, números 2; 3; 5; 7 están divididos solo por uno y por sí mismos. Estos son números naturales primos.
Una unidad no se considera primo.
Los números que son mayores que uno y que no son primos se denominan compuestos. Ejemplos de números compuestos:
Una unidad no se considera un número compuesto.
Muchos números naturales comprenden una unidad, números primos y números compuestos.
El conjunto de números naturales se denota con la letra latina N.
Propiedades de la suma y multiplicación de números naturales:
propiedad de mudanza de adición
combinando propiedad de adición
(a + b) + c \u003d a + (b + c);
propiedad de multiplicación
propiedad combinada de multiplicación
(ab) c \u003d a (bc);
propiedad de distribución de la multiplicación
A (b + c) \u003d ab + ac;
Enteros
Los enteros son números naturales, cero y números opuestos a los números naturales.
Los números opuestos a los naturales son enteros negativos, por ejemplo:
1; -2; -3; -4;...
El conjunto de enteros se denota con la letra latina Z.
Números racionales
Los números racionales son enteros y fracciones.
Cualquier número racional puede representarse como una fracción periódica. Ejemplos:
1,(0); 3,(6); 0,(0);...
De los ejemplos se puede ver que cualquier número entero es una fracción periódica con un período de cero.
Cualquier número racional puede representarse como una fracción m / n, donde m es un número entero, n es un número natural. Representamos el número 3, (6) del ejemplo anterior como tal fracción.
El número más simple es número natural. Se usan en la vida cotidiana para contar elementos, es decir para calcular su cantidad y orden.
¿Qué es un número natural? por números naturalesllamados los números que se utilizan para contando artículos o para indicar el número de serie de cualquier artículo de todos los homogéneosartículos.
Números naturales son números que comienzan con uno. Se forman naturalmente en el conteo.Por ejemplo, 1,2,3,4,5 ... -primeros números naturales
Número natural más pequeño - uno. El mayor número natural no existe. Al contar el número no se usa cero, por lo tanto, cero es un número natural.
Serie de números naturales Es una secuencia de todos los números naturales. Escribir números naturales:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
En una serie natural, cada número es uno más que el anterior.
¿Cuántos números hay en un número natural? El número natural es infinito, el número natural más grande no existe.
Decimales como 10 unidades de cualquier categoría forman 1 unidad de la categoría más alta. Posicional cómo el valor de un dígito depende de su lugar en el número, es decir desde la descarga donde se registra.
Clases de números naturales.
Cualquier número natural se puede escribir con 10 números arábigos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Para leer los números naturales, se dividen, comenzando desde la derecha, en grupos de 3 dígitos cada uno. 3 primero los números a la derecha son la clase de unidades, los siguientes 3 son la clase de miles, luego las clases de millones, miles de millones yetc. Cada uno de los dígitos de la clase se llama.descarga.
Comparación de números naturales.
De los 2 números naturales, el más pequeño es el número que se llamó anteriormente en el cálculo. Por ejemplonumero 7 menos 11 (escrito de la siguiente manera:7 < 11 ) Cuando un número es mayor que el segundo, se escribe así:386 > 99 .
Tabla de dígitos y clases de números.
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Unidades de primera clase |
Unidades de 1er dígito Decenas de 2do dígito 3er dígito cientos |
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2do grado mil |
Unidades de la primera categoría de miles 2da categoría decenas de miles 3a categoría cientos de miles |
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Millones de 3er grado |
Unidades de 1er dígito de millones 2da categoría decenas de millones 3er rango cientos de millones |
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Miles de millones de 4to grado |
Unidades de 1er dígito de miles de millones Segunda descarga decenas de miles de millones 3er dígito cientos de miles de millones |
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Los números de 5to grado y superiores son números grandes. Unidades de 5to Grado - Trillones, 6to clase - cuatrillones, séptimo grado - quintillones, octavo grado - sextillones, noveno grado -eptillones. Las propiedades básicas de los números naturales.
Acciones sobre números naturales. 4. División de números naturales: el inverso de la operación de multiplicación. Si b ∙ c \u003d aentonces
Fórmulas para la división: a: 1 \u003d a a: a \u003d 1, a ≠ 0 0: a \u003d 0, a ≠ 0 (pero ∙ b): c \u003d (a: c) ∙ b (pero ∙ b): c \u003d (b: c) ∙ a Expresiones numéricas e igualdades numéricas. La notación donde los números están unidos por signos de acción es expresión numérica. Por ejemplo, 10 ∙ 3 + 4; (60-2 ∙ 5): 10. Las entradas donde el signo igual combina 2 expresiones numéricas es igualdades numéricas. La igualdad tiene lados izquierdo y derecho. El orden de la aritmética. La suma y resta de números son acciones de primer grado, y la multiplicación y división son acciones de segundo grado. Cuando una expresión numérica consiste en acciones de solo un grado, se realizan secuencialmentede izquierda a derecha Cuando las expresiones consisten en una acción de solo primer y segundo grado, las acciones se realizan primero segundo grado, y luego - las acciones del primer grado. Cuando hay paréntesis en una expresión, primero realizan acciones entre paréntesis. Por ejemplo, 36: (10-4) + 3 ∙ 5 \u003d 36: 6 + 15 \u003d 6 + 15 \u003d 21. |
Definición
Los números naturales son números destinados a contar objetos. Para escribir números naturales, se utilizan 10 números arábigos (0–9), que son la base del sistema de números decimales, que generalmente se acepta para los cálculos matemáticos.
Secuencia de números naturales
Los números naturales forman una serie que comienza con 1 y cubre el conjunto de todos los enteros positivos. Tal secuencia consiste en los números 1,2,3, ... Esto significa que en el orden natural:
- Hay el número más pequeño y no el más grande.
- Cada número siguiente es 1 mayor que el anterior (la excepción es la unidad misma).
- Al luchar por el infinito, los números crecen ilimitadamente.
A veces ingresan 0 en una serie de números naturales. Esto es permisible, y luego hablan de extendido número natural
Clases de numeros naturales
Cada dígito de un número natural expresa una determinada categoría. El último es siempre el número de unidades en el número, el anterior frente a él es el número de decenas, el tercero desde el final es el número de cientos, el cuarto es el número de miles y así sucesivamente.
- incluyendo 276: 2 cientos, 7 decenas, 6 unidades
- incluyendo 1098: 1 mil, 9 decenas, 8 unidades; la descarga de cientos está ausente aquí, ya que se expresa por cero.
Para números grandes y muy grandes, puede ver una tendencia constante (si examina el número de derecha a izquierda, es decir, del último dígito al primero):
- los últimos tres dígitos en el número son unidades, decenas y cientos;
- los tres anteriores son unidades, decenas y cientos de miles;
- los tres que están delante de ellos (es decir, los séptimo, octavo y noveno dígitos de un número, contando desde el final) son unidades, decenas y cientos de millones, etc.
Es decir, cada vez que tratamos con tres números, es decir, unidades, decenas y cientos de una denominación mayor. Tales grupos forman clases. Y si tiene que lidiar con las primeras tres clases en la vida cotidiana con más o menos frecuencia, entonces las otras deben aparecer en la lista, porque no todos recuerdan sus nombres de memoria.
- La 4ta clase, siguiendo la clase de millones y representando números de 10-12 dígitos, se llama mil millones (o mil millones);
- 5to grado - un billón;
- 6to grado - cuatrillones;
- 7mo grado - quintillion;
- 8vo grado - sextillion;
- 9no grado - septillion.
Suma de números naturales
Agregar un número natural es una operación aritmética que le permite obtener un número que contiene tantas unidades como hay en los números agregados juntos.
El signo de suma es el signo "+". Los números sumados se llaman términos, el resultado es la suma.
Pequeños números se suman (resumen) oralmente, por escrito, tales acciones se escriben en una línea.
Los números de valores múltiples que son difíciles de agregar a la mente generalmente se colocan en una columna. Para hacer esto, escriba los números uno tras otro, alineándolos con el último dígito, es decir, escriba la categoría de unidades bajo la categoría de unidades, la categoría de cientos bajo la categoría de cientos, y así sucesivamente. A continuación, debe agregar las descargas en pares. Si la suma de los dígitos ocurre con el paso a través de una docena, entonces estos diez se fijan como una unidad por encima del dígito de la izquierda (es decir, a continuación) y se suman junto con los dígitos de este dígito.
Si la columna no agrega 2, sino más números, al sumar los dígitos de la descarga, puede resultar redundante no solo una docena, sino varias. En este caso, el número de tales decenas se transfiere a la siguiente descarga.
Resta de números naturales
La resta es la acción aritmética, lo opuesto a la suma, que se reduce al hecho de que por la suma disponible y uno de los términos necesitas encontrar otro, un término desconocido. El número a restar se llama decrementado; El número a restar es deducible. El resultado de la resta se llama diferencia. El signo por el cual se designa la acción de resta es "-".
Tras la transición a la suma, lo restado y la diferencia se convierten en términos, y lo reducido, en la suma. La suma generalmente verifica la corrección de la resta realizada, y viceversa.
Aquí 74 es la disminución, 18 es la resta, 56 es la diferencia.
Un requisito previo para la resta de números naturales es el siguiente: la disminución debe ser necesariamente mayor que la resta. Solo en este caso la diferencia obtenida también será un número natural. Si la acción de sustracción se lleva a cabo para una serie natural extendida, entonces se permite que lo reducido sea igual a lo sustraído. Y el resultado de la resta en este caso será 0.
Nota: si se resta cero, la operación de resta no cambia el valor del decrementado.
La sustracción de números de varios dígitos generalmente se realiza en una columna. En este caso, los números se escriben de la misma manera que para la suma. La resta se realiza para los dígitos correspondientes. Si resulta que la disminución es menor que el deducible, entonces toman uno de la descarga anterior (izquierda), que, después de la transferencia, naturalmente se convierte en 10. Este diez se suma con el dígito de la disminución de esta descarga y luego se resta. Además, al restar el siguiente dígito, es necesario tener en cuenta que la disminución es 1 menos.
El producto de los números naturales.
El producto (o multiplicación) de números naturales es una acción aritmética, que consiste en encontrar la suma de un número arbitrario de términos idénticos. Para registrar la acción de la multiplicación use el signo "·" (a veces "×" o "*"). Por ejemplo: 3 · 5 \u003d 15.
La acción de multiplicación es indispensable si es necesario para agregar una gran cantidad de términos. Por ejemplo, si necesita sumar el número 4 7 veces, multiplicar 4 por 7 es más fácil que hacer esta suma: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4.
Los números que se multiplican se llaman factores, el resultado de la multiplicación se llama producto. En consecuencia, el término "trabajo" puede, dependiendo del contexto, expresar tanto el proceso de multiplicación como su resultado.
Los números múltiples se multiplican por una columna. Para este número, escriba de la misma manera que para la suma y la resta. Se recomienda que escriba el primero (arriba) de los 2 números que es más largo. En este caso, el proceso de multiplicación será más simple y, por lo tanto, más racional.
Al multiplicar en una columna, los dígitos de cada uno de los dígitos del segundo número se multiplican secuencialmente por los dígitos del primer número, comenzando desde su final. Después de encontrar el primer trabajo de este tipo, anote el número de unidades, y se tiene en cuenta el número de decenas. Cuando multiplica los dígitos del segundo número por el siguiente dígito del primer número, el número que se tiene en cuenta se agrega al producto. Y nuevamente, se registra el número de unidades del resultado y se memoriza el número de decenas. Cuando se multiplica por el último dígito del primer número, el número obtenido de esta manera se anota por completo.
Los resultados de multiplicar los dígitos de la segunda categoría del segundo número se registran en la segunda fila, desplazándola 1 celda hacia la derecha. Y así sucesivamente. Como resultado, se obtendrá una "escalera". Se deben agregar todas las filas de números resultantes (de acuerdo con la regla de adición en una columna). Las celdas vacías deben considerarse llenas de ceros. La cantidad recibida es el producto final.
Nota
- El producto de cualquier número natural por 1 (o 1 por un número) es igual al número mismo. Por ejemplo: 376 · 1 \u003d 376; 1 · 86 \u003d 86.
- Cuando uno de los factores o ambos factores son iguales a 0, entonces el producto es igual a 0. Por ejemplo: 32 · 0 \u003d 0; 0.845 \u003d 845; 0 · 0 \u003d 0.
División de números naturales.
La división es una operación aritmética por la cual, por un producto conocido y uno de los factores, se puede encontrar otro factor desconocido. La división es lo opuesto a la multiplicación, y se utiliza para verificar la corrección de la multiplicación realizada (y viceversa).
Un número dividido se llama divisible; el número dividido por el divisor; El resultado de la división se llama cociente. La marca de división es ":" (a veces, con menos frecuencia "÷").
Aquí 48 es un dividendo, 6 es un divisor, 8 es un cociente.
No todos los números naturales se pueden dividir entre sí. En este caso, se realiza la división con el resto. Consiste en el hecho de que dicho factor se selecciona para el divisor de que su producto por el divisor sería un número lo más cercano posible al dividendo, pero menor que él. El divisor se multiplica por este factor y se resta del dividendo. La diferencia será el resto de la división. El producto del divisor por factor se llama cociente parcial. Atención: ¡el resto debe ser menor que el factor seleccionado! Si el resto es mayor, esto significa que el multiplicador se elige incorrectamente y debe aumentarse.
Seleccionamos el factor para 7. En este caso, es el número 5. Encontramos el cociente parcial: 7 · 5 \u003d 35. Calculamos el resto: 38-35 \u003d 3. Desde 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).
Múltiples dígitos están divididos por una columna. Para esto, el dividendo y el divisor se escriben uno al lado del otro, separando el divisor con una barra vertical y horizontal. En el dividendo, se distingue el primer dígito o los primeros dígitos (a la derecha), que debe ser un número mínimamente suficiente para la división por un divisor (es decir, este número debe ser mayor que el divisor). Se selecciona un cociente incompleto para este número, como se describe en la regla de división restante. El dígito del factor utilizado para encontrar el cociente parcial se escribe debajo del divisor. Un cociente incompleto se escribe debajo del número, que se dividió alineándolo a la derecha. Encuentra su diferencia. Ellos demuelen el siguiente dígito del dividendo escribiéndolo junto a esta diferencia. Para el número resultante, el cociente parcial se encuentra nuevamente escribiendo el dígito del factor seleccionado, al lado del anterior debajo del divisor. Y así sucesivamente. Dichas acciones se realizan hasta que los números del dividendo hayan terminado. Después de esto, la división se considera completa. Si el dividendo y el divisor se dividen por completo (sin resto), la última diferencia dará cero. De lo contrario, se obtendrá el número restante.
Exponenciación
Elevar a un poder es una acción matemática que consiste en multiplicar un número arbitrario de números idénticos. Por ejemplo: 2 · 2 · 2 · 2.
Dichas expresiones se escriben como: a x,
donde un - el número multiplicado por sí mismo, x - El número de tales factores.
Números naturales simples y compuestos
Cualquier número natural, excepto 1, se puede dividir en al menos 2 números, por uno y por sí mismo. Según este criterio, los números naturales se dividen en simples y compuestos.
Los números simples son divisibles por solo 1 y por sí mismos. Los números que se dividen entre más de estos 2 números se llaman compuestos. Una unidad que se divide exclusivamente por sí misma no se aplica ni a la simple ni a la compuesta.
Los números primos son: 2,3,5,7,11,13,17,19, etc. Ejemplos de números compuestos: 4 (divisible por 1,2,4), 6 (divisible por 1,2,3,6), 20 (divisible por 1,2,4,5,10,20).
Cualquier número compuesto puede ser factorizado. En este caso, se entiende que los factores primos son sus divisores, que son números primos.
Ejemplo de factorización prima:
Divisores de numeros naturales
Por un divisor se entiende un número por el cual un número dado se puede dividir sin un resto.
De acuerdo con esta definición, los números naturales simples tienen 2 divisores, y los números compuestos tienen más de 2 divisores.
Muchos números tienen divisores comunes. Un divisor común es un número por el cual estos números son divisibles sin resto.
- Los números 12 y 15 tienen un factor común de 3
- Los números 20 y 30 tienen divisores comunes de 2.5.10.
De particular importancia es el mayor factor común (MCD). Este número, en particular, es útil para poder encontrar para reducir fracciones. Para encontrarlo, se requiere descomponer estos números en factores primos y presentarlos como el producto de sus factores primos comunes tomados en sus grados más pequeños.
Se requiere encontrar el MCD de los números 36 y 48.
Divisibilidad de los números naturales.
Está lejos de ser siempre posible "a simple vista" determinar si un número es divisible por otro sin dejar residuo. En tales casos, el signo correspondiente de divisibilidad es útil, es decir, la regla por la cual, en cuestión de segundos, se puede determinar si los números se pueden dividir sin un resto. El signo "" se usa para indicar divisibilidad.
Mínimo común múltiplo
Este valor (denotado por el NOC) es el número más pequeño que se divide por cada uno de los dados. Se puede encontrar NOC para un conjunto arbitrario de números naturales.
NOC, como GCD, tiene un significado significativo aplicado. Entonces, es el NOC el que necesita ser encontrado, llevando las fracciones ordinarias a un denominador común.
El NOC se determina factorizando los números dados en factores primos. Para su formación, se toma un producto que consiste en cada uno de los factores primos que ocurren (al menos para el primer número) representados en la máxima medida.
Encuentra los números NOC 14 y 24.
Media aritmética
El promedio aritmético de un número arbitrario (pero finito) de números naturales es la suma de todos estos números, dividido por el número de términos:
La media aritmética es un cierto valor promedio para un conjunto numérico.
Se dan los números 2,84,53,176,17,28. Se requiere encontrar su media aritmética.
