La velocidad es la primera derivada de la coordenada. Derivada en física. El significado geométrico y físico de la derivada.
El significado físico de la derivada. La estructura del examen en matemáticas incluye un grupo de tareas para la solución de las cuales es necesario el conocimiento y la comprensión del significado físico de la derivada. En particular, hay tareas en las que se da la ley de movimiento de un determinado punto (objeto), expresada por la ecuación y se requiere que encuentre su velocidad en un determinado momento de movimiento, o el tiempo después del cual el objeto adquirirá una cierta velocidad dada.Las tareas son muy simples, se resuelven en una sola acción. Entonces
Deje que la ley de movimiento del punto material x (t) se dé a lo largo del eje de coordenadas, donde x es la coordenada del punto en movimiento, t es el tiempo.
La velocidad en un punto particular en el tiempo es una derivada de la coordenada del tiempo. Este es el significado mecánico de la derivada.
Del mismo modo, la aceleración es una derivada de la velocidad con respecto al tiempo:
Por lo tanto, el significado físico de la derivada es la velocidad. Esta puede ser la velocidad de movimiento, la velocidad de cambio de cualquier proceso (por ejemplo, el crecimiento de bacterias), la velocidad de finalización del trabajo (y así sucesivamente, hay muchos problemas aplicados).
Además, necesita conocer la tabla de derivadas (necesita conocerla así como la tabla de multiplicación) y las reglas de diferenciación. Específicamente, para resolver los problemas especificados, se requiere el conocimiento de las primeras seis derivadas (ver tabla):
Considere las tareas:
x (t) \u003d t 2 - 7t - 20
donde x t es el tiempo en segundos, medido desde el comienzo del movimiento. Encuentre su velocidad (en metros por segundo) en el tiempo t \u003d 5 s.
El significado físico de la derivada es velocidad (velocidad de movimiento, velocidad de cambio del proceso, velocidad de trabajo, etc.)
Encontramos la ley del cambio de velocidad: v (t) \u003d x ′ (t) \u003d 2t - 7 m / s.
En t \u003d 5 tenemos:
Respuesta: 3
Decide por tu cuenta:
El punto material se mueve rectilíneamente de acuerdo con la ley x (t) \u003d 6t 2 - 48t + 17, donde x - distancia desde el punto de referencia en metros, t - tiempo en segundos, medido desde el inicio del movimiento. Encuentre su velocidad (en metros por segundo) en el tiempo t \u003d 9 s.
El punto material se mueve rectilíneamente de acuerdo con la ley x (t) \u003d 0.5t 3 - 3t 2 + 2t, donde xt - tiempo en segundos, medido desde el inicio del movimiento. Encuentre su velocidad (en metros por segundo) en el tiempo t \u003d 6 s.
El punto material se mueve rectilíneamente de acuerdo con la ley.
x (t) \u003d –t 4 + 6t 3 + 5t + 23
donde x - distancia desde el punto de referencia en metros,t - tiempo en segundos, medido desde el inicio del movimiento. Encuentre su velocidad (en metros por segundo) en el tiempo t \u003d 3 s.
El punto material se mueve rectilíneamente de acuerdo con la ley.
x (t) \u003d (1/6) t 2 + 5t + 28
donde x es la distancia desde el punto de referencia en metros, t es el tiempo en segundos, medido desde el comienzo del movimiento. ¿En qué momento (en segundos) era su velocidad igual a 6 m / s?
Encuentra la ley del cambio de velocidad:
Para encontrar en qué momentot la velocidad fue de 3 m / s, es necesario resolver la ecuación:
Respuesta: 3
Decide por ti mismo:
El punto material se mueve rectilíneamente de acuerdo con la ley x (t) \u003d t 2 - 13t + 23, donde x - distancia desde el punto de referencia en metros, t - tiempo en segundos, medido desde el inicio del movimiento. ¿En qué momento (en segundos) era su velocidad igual a 3 m / s?
El punto material se mueve rectilíneamente de acuerdo con la ley.
x (t) \u003d (1/3) t 3 - 3t 2 - 5t + 3
donde x - distancia desde el punto de referencia en metros, t - tiempo en segundos, medido desde el inicio del movimiento. ¿En qué momento (en segundos) era su velocidad igual a 2 m / s?
Observo que centrarse solo en este tipo de tareas en el examen no vale la pena. Puede introducir inesperadamente las tareas opuestas presentadas. Cuando se da la ley del cambio de velocidad y la pregunta será sobre encontrar la ley del movimiento.
Sugerencia: en este caso es necesario encontrar la integral de la función de velocidad (esta también es una tarea de un solo paso). Si necesita encontrar la distancia recorrida para un cierto punto en el tiempo, entonces necesita sustituir el tiempo en la ecuación resultante y calcular la distancia. Sin embargo, también analizaremos tales tareas, ¡no te las pierdas!Buena suerte a ti!
Sinceramente, Alexander Krutitsky.
P.S: Le agradecería que hablara del sitio en las redes sociales.
El álgebra es generoso. A menudo ella da más de lo que se le pide.
J. Dalamber
La comunicación interdisciplinaria es una condición didáctica y un medio de asimilación profunda e integral de los fundamentos de las ciencias en la escuela.
Además, ayudan a aumentar el nivel científico del conocimiento de los estudiantes, el desarrollo del pensamiento lógico y sus habilidades creativas. La implementación de conexiones interdisciplinarias elimina la duplicación en el estudio del material, ahorra tiempo y crea condiciones favorables para la formación de habilidades educativas generales de los estudiantes.
El establecimiento de comunicaciones entre sujetos en el curso de la física aumenta la efectividad de la orientación politécnica y práctica de la educación.
En la enseñanza de las matemáticas, el lado motivacional es muy importante. Los estudiantes perciben mejor el problema matemático si surge como si fuera ante sus ojos, se formula después de considerar algunos fenómenos físicos o problemas técnicos.
No importa cuánto diga el maestro sobre el papel de la práctica en el progreso de las matemáticas y la importancia de las matemáticas en el estudio de la física, el desarrollo de la tecnología, pero si no muestra cómo la física afecta el desarrollo de las matemáticas y cómo las matemáticas ayudan a la práctica a resolver sus problemas, entonces se aplicará el desarrollo de una cosmovisión materialista. Daño grave. Pero para mostrar cómo las matemáticas ayudan a resolver sus problemas, necesitamos tareas que no se inventen con fines metodológicos, pero que surjan en varios campos de la actividad humana práctica.
Informacion historica
El cálculo diferencial fue creado por Newton y Leibniz a fines del siglo XVII sobre la base de dos tareas:
- encontrar una tangente a una línea arbitraria;
- en encontrar velocidad con una ley arbitraria de movimiento.
Anteriormente, la noción de un derivado se encontró en las obras del matemático italiano Nicolo Tartaglia (alrededor de 1500-1557): una tangente apareció aquí durante el estudio del tema del ángulo de inclinación del arma, lo que garantiza el mayor alcance del proyectil.
En el siglo XVII, sobre la base de las enseñanzas de G. Galileo sobre el movimiento, se desarrolló activamente el concepto cinemático de la derivada.
Todo el tratado sobre el papel de la derivada en matemáticas está dedicado al famoso científico Galileo Galilei. Se comenzaron a encontrar varias exposiciones en las obras de Descartes, el matemático francés Roberval y el científico inglés L. Gregory. Lopital, Bernoulli, Lagrange, Euler, Gauss hicieron una gran contribución al estudio del cálculo diferencial.
Algunas aplicaciones de la derivada en física.
Derivada- el concepto básico de cálculo diferencial, que caracteriza tasa de cambio de función.
Determinado por como el límite de la relación del incremento de una función al incremento de su argumento cuando el argumento tiende a incrementar el argumento a cero, si existe dicho límite.
De esta manera 
Por lo tanto, para calcular la derivada de la función f (x) en el punto x 0 por definición, necesitas:
Considere varios problemas físicos, cuya solución utiliza este esquema.
El problema de la velocidad instantánea. El significado mecánico de la derivada.
Recordemos cómo se determinó la velocidad de movimiento. El punto material se mueve a lo largo de la línea de coordenadas. La coordenada x de este punto es una función conocida. x (t) tiempo t. Por un período de tiempo desde t 0 antes t 0 + punto de movimiento es igual x (t 0 +)
– x (t 0) - y su velocidad promedio es la siguiente: 
.
Por lo general, la naturaleza del movimiento es tal que, a pequeña escala, la velocidad promedio prácticamente no cambia, es decir, El movimiento con un alto grado de precisión puede considerarse uniforme. En otras palabras, el valor de la velocidad promedio en tiende a un valor bien definido, que se llama velocidad instantánea v (t 0) punto material en el tiempo t 0.
Entonces 
Pero por definición 
Por lo tanto, se cree que la velocidad instantánea a la vez t 0
Discutiendo de manera similar, obtenemos que la derivada de la velocidad con respecto al tiempo es la aceleración, es decir
El problema de la capacidad calorífica del cuerpo.
Para que la temperatura de un cuerpo que pese 1 g aumente de 0 grados a t grados, el cuerpo necesita informar una cierta cantidad de calor Q. Significa Qhay una función de temperatura t, a la que el cuerpo se calienta: Q \u003d Q (t). Deje que la temperatura del cuerpo aumente con t 0 antes t.La cantidad de calor gastada para este calentamiento es igual. La relación es la cantidad de calor que se requiere en promedio para calentar el cuerpo en 1 grado cuando la temperatura cambia
grados Esta relación se llama capacidad calorífica promedio de un cuerpo dado y se denota por de mié.
Porque Dado que la capacidad calorífica promedio no da una idea de la capacidad calorífica para cualquier temperatura T, se introduce el concepto de capacidad calorífica a una temperatura dada t 0 (en este punto t 0).
Capacidad calorífica a temperatura t 0 (en un punto dado) se llama límite
El problema de la densidad lineal de la barra.
Considere una varilla heterogénea.
Para tal varilla, surge la pregunta de la tasa de cambio de masa dependiendo de su longitud.
Densidad lineal media 
la masa de la barra es una función de su longitud x.
Por lo tanto, la densidad lineal de una varilla no homogénea en un punto dado se determina de la siguiente manera:
Al considerar tales problemas, se pueden obtener conclusiones similares sobre muchos procesos físicos. Algunos de ellos se dan en la tabla.
Función |
Formula |
Conclusión |
| m (t) es la dependencia de la masa de combustible gastado en el tiempo. |  |
Derivada masa en el tiempo esta ahi velocidad consumo de combustible |
| T (t) es la dependencia de la temperatura del cuerpo calentado en el tiempo. |  |
Derivada temperatura en el tiempo esta ahi velocidad Calefacción corporal. |
| m (t) es la dependencia del tiempo de la masa durante la descomposición de una sustancia radiactiva. |  |
Derivada masa de sustancia radiactiva con el tiempoesta ahi velocidad descomposición radiactiva |
| q (t) es la dependencia del tiempo de la cantidad de electricidad que fluye a través del conductor |  |
Derivada cantidad de electricidad con el tiempo esta ahi fuerza actual. |
| A (t) - dependencia del trabajo en el tiempo |  |
Derivada trabajar a tiempo esta ahi poder. |
Ejercicios prácticos:
El proyectil que sale del arma se mueve según la ley x (t) \u003d - 4t 2 + 13t (m). Encuentra la velocidad del proyectil al final de 3 segundos.
La cantidad de electricidad que fluye a través del conductor, comenzando desde el tiempo t \u003d 0 c, viene dada por la fórmula q (t) \u003d 2t 2 + 3t + 1 (Cool) Encuentre la intensidad actual al final del quinto segundo.
La cantidad de calor Q (J) requerida para calentar 1 kg de agua de 0 o a t o C está determinada por la fórmula Q (t) \u003d t + 0.00002t 2 + 0.0000003t 3. Calcule la capacidad calorífica del agua si t \u003d 100 o.
El cuerpo se mueve rectilíneamente de acuerdo con la ley x (t) \u003d 3 + 2t + t 2 (m). Determine su velocidad y aceleración a veces 1 sy 3 s.
Encuentre la magnitud de la fuerza F que actúa sobre un punto de masa m que se mueve de acuerdo con la ley x (t) \u003d t 2 - 4t 4 (m), en t \u003d 3 s.
Un cuerpo cuya masa es m \u003d 0.5 kg se mueve rectilíneamente de acuerdo con la ley x (t) \u003d 2t 2 + t - 3 (m). Encuentre la energía cinética del cuerpo 7 segundos después del inicio del movimiento.
Conclusión
Puede especificar muchos más problemas de la tecnología, para cuya solución también es necesario encontrar la tasa de cambio de la función correspondiente.
Por ejemplo, al encontrar la velocidad angular de un cuerpo giratorio, el coeficiente lineal de expansión de los cuerpos cuando se calienta, la velocidad de la reacción química en un momento dado.
En vista de la abundancia de problemas que conducen al cálculo de la tasa de cambio de una función o, de lo contrario, al cálculo del límite de la relación del incremento de la función al incremento del argumento, cuando este último tiende a cero, resultó necesario señalar dicho límite para una función arbitraria y estudiar sus principales propiedades. Este límite fue llamado función derivada
Entonces, usando una serie de ejemplos, hemos mostrado cómo se describen varios procesos físicos usando problemas matemáticos, cómo el análisis de soluciones nos permite sacar conclusiones y predicciones sobre el curso de los procesos.
Por supuesto, la cantidad de ejemplos de este tipo es enorme, y una gran parte de ellos es bastante accesible para los estudiantes interesados.
"La música puede elevar o apaciguar el alma,
Pintura - agradable a la vista,
Poesía - para despertar sentimientos
La filosofía es satisfacer las necesidades de la mente,
La ingeniería es mejorar el lado material de la vida de las personas,
Y las matemáticas pueden lograr todos estos objetivos ".
Eso dijo un matemático estadounidense Maurice Kline.
Referencias :
- Abramov A.N., Vilenkin N.Ya. et al. Preguntas seleccionadas de matemáticas. 10mo grado. - M: Ilustración, 1980.
- Vilenkin N.Ya., Shibasov A.P.Detrás de las páginas de un libro de texto de matemáticas. - M: Educación, 1996.
- Dobrokhotova M.A., Safonov A.N.. Función, su límite y derivada. - M: Ilustración, 1969.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M. Álgebra y el comienzo del análisis matemático. - M: Educación, 2010.
- Kolosov A.A. Un libro para lectura extracurricular en matemáticas. - M: Uchpedgiz, 1963.
- Fichtenholtz G.M. Fundamentos del análisis matemático, Parte 1 - M: Nauka, 1955.
- Yakovlev G.N. Matemáticas para escuelas técnicas. Álgebra y el comienzo del análisis, parte 1 - M: Nauka, 1987.
Resolver problemas físicos o ejemplos en matemáticas es completamente imposible sin el conocimiento de la derivada y los métodos para su cálculo. La derivada es uno de los conceptos más importantes del análisis matemático. Decidimos dedicar este artículo a este tema fundamental. ¿Qué es una derivada, cuál es su significado físico y geométrico, cómo calcular la derivada de una función? Todas estas preguntas se pueden combinar en una: ¿cómo entender la derivada?
El significado geométrico y físico de la derivada.
Que haya una función f (x) definido en algún intervalo (a, b) . Los puntos xyx0 pertenecen a este intervalo. Cuando x cambia, la función misma cambia. Cambio de argumento - diferencia de sus valores xx0 . Esta diferencia se escribe como delta x y se llama un incremento de argumento. Un cambio o incremento de una función se llama la diferencia de los valores de la función en dos puntos. Definición derivada:
La derivada de una función en un punto es el límite de la relación del incremento de la función en un punto dado al incremento del argumento cuando este último tiende a cero.
De lo contrario, se puede escribir así:
¿Cuál es el punto de encontrar ese límite? Y aquí está lo que:
la derivada de la función en el punto es igual a la tangente del ángulo entre el eje OX y la tangente a la gráfica de la función en este punto.
El significado físico de la derivada: la derivada del tiempo de la ruta es igual a la velocidad del movimiento rectilíneo.
De hecho, desde los tiempos escolares, todos saben que la velocidad es una forma particular x \u003d f (t) y tiempo t . Velocidad promedio durante un período de tiempo:
Para descubrir la velocidad de un momento en el tiempo t0 necesita calcular el límite:
Regla uno: emitimos una constante
La constante se puede sacar para el signo de la derivada. Además, hay que hacerlo. Al resolver ejemplos matemáticos, conviértalo en una regla: si puedes simplificar la expresión, asegúrate de simplificar .
Un ejemplo Calculamos la derivada:
Regla dos: la derivada de la suma de funciones
La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de estas funciones. Lo mismo es cierto para la derivada de la diferencia de funciones.
No daremos una prueba de este teorema, sino que consideraremos un ejemplo práctico.
Encuentra la derivada de la función:
Regla Tres: Producto Derivado de Funciones
La derivada del producto de dos funciones diferenciables se calcula mediante la fórmula:
Ejemplo: encontrar la derivada de una función:
Solución: 
Es importante decir aquí sobre el cálculo de derivadas de funciones complejas. La derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de esta función con respecto al argumento intermedio y la derivada del argumento intermedio con respecto a la variable independiente.
En el ejemplo anterior, nos encontramos con la expresión:
En este caso, el argumento intermedio es 8x para el quinto grado. Para calcular la derivada de tal expresión, primero consideramos la derivada de la función externa con respecto al argumento intermedio, y luego multiplicamos por la derivada de la función intermedia en sí con respecto a la variable independiente.
Regla cuatro: derivada del cociente de dos funciones
La fórmula para determinar la derivada del cociente de dos funciones:
Intentamos hablar sobre derivados para dummies desde cero. Este tema no es tan simple como parece, por lo que le advertimos: las trampas se encuentran a menudo en ejemplos, así que tenga cuidado al calcular derivadas.
Con cualquier pregunta sobre este y otros temas, puede comunicarse con el servicio al estudiante. En poco tiempo, lo ayudaremos a resolver el control más difícil y a lidiar con las tareas, incluso si nunca antes ha estado involucrado en el cálculo de derivados.
Hasta ahora, hemos asociado el concepto de derivada con la representación geométrica de la función gráfica. Sin embargo, sería un gran error limitar el papel del concepto de derivada al problema de determinar la pendiente de la tangente a una curva dada. Una tarea aún más importante desde el punto de vista científico es calcular la tasa de cambio de cualquier cantidad. f (t)cambiando con el tiempo t. Fue desde esta perspectiva que Newton se acercó al cálculo diferencial. En particular, Newton buscó analizar el fenómeno de la velocidad, considerando el tiempo y la posición de una partícula en movimiento como variables (de acuerdo con la expresión de Newton, "fluidos"). Cuando una partícula se mueve a lo largo del eje x, entonces su movimiento está bien definido, una vez que la función x \u003d f (t)indicando la posición de la partícula x en cualquier momento t. El "movimiento uniforme" con una velocidad constante b a lo largo del eje x está determinado por una función lineal x \u003d a + bt, donde a es la posición de la partícula en el momento inicial (para t \u003d 0).
El movimiento de una partícula en un plano ya está descrito por dos funciones.
x \u003d f (t), y \u003d g (t),
que determinan sus coordenadas en función del tiempo. En particular * dos funciones lineales corresponden al movimiento uniforme
x \u003d a + bt, y \u003d c + dt,
donde b y d son dos "componentes" de velocidad constante, y a y c son las coordenadas de la posición inicial de la partícula (para t \u003d 0); la trayectoria de una partícula es una línea recta cuya ecuación
(x - a) d - (y - s) b \u003d 0
obtenido eliminando t de las dos relaciones anteriores.
Si una partícula se mueve en el plano vertical x, y solo bajo la acción de la gravedad, entonces su movimiento (esto se demuestra en física elemental) está determinado por dos ecuaciones
donde a, b, c, d son valores constantes que dependen del estado de la partícula en el momento inicial, y g es la aceleración de la gravedad de aproximadamente 9.81 si el tiempo se mide en segundos y la distancia en metros. La trayectoria del movimiento obtenida al eliminar t de dos ecuaciones dadas es una parábola.
si solo b ≠ 0; de lo contrario, la ruta es un segmento del eje vertical.
Si una partícula se ve obligada a moverse a lo largo de una curva dada (similar a cómo se mueve un tren a lo largo de los rieles), entonces su movimiento puede determinarse mediante una función s (t) (una función del tiempo t) igual a la longitud del arco s calculada a lo largo de esta curva desde algún punto inicial P 0 a la posición de la partícula en el punto P en el tiempo t. Por ejemplo, si estamos hablando de un círculo unitario x 2 + y 2 \u003d 1entonces la función s \u003d ct determina en este círculo un movimiento rotacional uniforme con velocidad con.
* Ejercicio Dibuja las trayectorias de los movimientos planos dados por las ecuaciones: 1) x \u003d sen t, y \u003d cos t; 2) x \u003d sen 2t, y \u003d cos 3t; 3) x \u003d sin 2t, y \u003d 2 sin 3t; 4) en el movimiento parabólico descrito anteriormente, asuma la posición inicial de la partícula (en t \u003d 0) en el origen y asuma b\u003e 0, d\u003e 0. Encuentra las coordenadas del punto más alto en el camino. Encuentre el tiempo t y x correspondiente a la intersección secundaria de la trayectoria con el eje x.
El primer objetivo que Newton se propuso fue encontrar la velocidad de una partícula moviéndose de manera desigual. Para simplificar, consideramos el movimiento de una partícula a lo largo de una línea recta definida por x \u003d f (t). Si el movimiento fuera uniforme, es decir, se llevara a cabo a una velocidad constante, entonces se podría encontrar esta velocidad tomando dos puntos en el tiempo tyt1 y las posiciones de partículas correspondientes f (t) y f (t 1) y componiendo la relación
Por ejemplo, si t se mide en horas yx en kilómetros, entonces a t 1 - t \u003d 1 diferencia x 1 - x será la cantidad de kilómetros recorridos en 1 hora, y v - velocidad (en kilómetros por hora). Cuando dicen que la velocidad es una constante, solo quieren decir que la relación de diferencia
no cambia a ningún valor de t y t 1. Pero si el movimiento no es uniforme (que, por ejemplo, tiene lugar con la caída libre del cuerpo, cuya velocidad aumenta a medida que cae), entonces la relación (3) no da el valor de la velocidad en el tiempo t, sino que representa lo que generalmente se llama la velocidad promedio en el intervalo de tiempo de t a t 1. Para obtener la velocidad en el tiempo tnecesita calcular el límite velocidad media cuando t 1 t Por lo tanto, siguiendo a Newton, definimos la velocidad de esta manera:
En otras palabras, la velocidad es la derivada de la distancia recorrida (las coordenadas de la partícula en una línea recta) con respecto al tiempo, o la "tasa de cambio instantánea" de la ruta con respecto al tiempo, en contraste medio tasa de cambio, determinada por la fórmula (3).
Tasa de cambio de velocidad en sí llamado aceleración La aceleración es simplemente una derivada de una derivada; generalmente se denota por f "(t) y se llama segunda derivada de la función f (t).
A veces, en el problema B9 de USE en matemáticas, en lugar de los gráficos favoritos de todos de una función o derivada, simplemente se da la ecuación de la distancia desde el punto hasta el origen. ¿Qué hacer en este caso? Cómo encontrar velocidad o aceleración por distancia.
De hecho, todo es simple. La velocidad es una derivada de la distancia, y la aceleración es una derivada de la velocidad (o, equivalentemente, la segunda derivada de la distancia). En este breve video estarás convencido de que tales tareas se resuelven no más complicadas que el B9 "clásico".
Hoy analizaremos dos problemas sobre el significado físico de las derivadas de USE en matemáticas. Estas tareas se encuentran en la Parte B y son significativamente diferentes de las que la mayoría de los estudiantes están acostumbrados a ver en sondeos y exámenes. La cuestión es que requieren comprender el significado físico de la función derivada. En estos problemas, nos centraremos en las funciones que expresan distancias.
Si $ S \u003d x \\ left (t \\ right) $, entonces $ v $ podemos calcular lo siguiente:
Estas tres fórmulas son todo lo que necesitará para resolver tales ejemplos sobre el significado físico de la derivada. Solo recuerda que $ v $ es una derivada de la distancia, y la aceleración es una derivada de la velocidad.
Veamos cómo funciona para resolver problemas reales.
Ejemplo no 1
donde $ x $ es la distancia desde el punto de referencia en metros, $ t $ es el tiempo transcurrido en segundos desde el comienzo del movimiento. Encuentre la velocidad del punto (en m / s) en el tiempo $ t \u003d 2c $.
Esto significa que tenemos una función que establece la distancia, y usted necesita calcular la velocidad en el tiempo $ t \u003d 2c $. En otras palabras, necesitamos encontrar $ v $, es decir
Eso es todo lo que necesitábamos descubrir a partir de la condición: en primer lugar, cómo se ve la función y, en segundo lugar, qué se requiere de nosotros para encontrarla.
Vamos a decidir En primer lugar, calculamos la derivada:
\\ [(x) "\\ left (t \\ right) \u003d - \\ frac (1) (5) \\ cdot 5 ((t) ^ (4)) + 4 ((t) ^ (3)) - 3 (( t) ^ (2)) + 5 \\]
\\ [(x) "\\ left (t \\ right) \u003d - ((t) ^ (4)) + 4 ((t) ^ (3)) - 3 ((t) ^ (2)) + 5 \\]
Necesitamos encontrar la derivada en el punto 2. Sustituyamos:
\\ [(x) "\\ left (2 \\ right) \u003d - ((2) ^ (4)) + 4 \\ cdot ((2) ^ (3)) - 3 \\ cdot ((2) ^ (2)) + 5 \u003d \\]
\[=-16+32-12+5=9\]
Eso es todo, encontramos la respuesta final. Total, la velocidad de nuestro punto material en el tiempo $ t \u003d 2c $ será de 9 m / s.
Ejemplo no 2
El punto material se mueve según la ley:
donde $ x $ es la distancia desde el punto de referencia en metros, $ t $ es el tiempo en segundos, medido desde el comienzo del movimiento. ¿En qué momento era su velocidad igual a 3 m / s?
Eche un vistazo, la última vez que se nos solicitó encontrar $ v $ en el momento 2 s, y esta vez se nos solicitó encontrar el momento exacto en que esta velocidad sería de 3 m / s. Podemos decir que conocemos el valor final, y de este valor final necesitamos encontrar el original.
En primer lugar, estamos buscando nuevamente la derivada:
\\ [(x) "\\ left (t \\ right) \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot 3 ((t) ^ (2)) - 4 \\ cdot 2t + 19 \\]
\\ [(x) "\\ left (t \\ right) \u003d ((t) ^ (2)) - 8t + 19 \\]
Se nos pide que encontremos en qué momento la velocidad será de 3 m / s. Componemos y resolvemos la ecuación para encontrar el significado físico de la derivada:
\\ [(((t) ^ (2)) - 8t + 19 \u003d 3 \\]
\\ [(((t) ^ (2)) - 8t + 16 \u003d 0 \\]
\\ [(((\\ left (t-4 \\ right)) ^ (2)) \u003d 0 \\]
El número resultante significa que en el momento 4 con $ v $, un punto material que se mueve de acuerdo con la ley descrita anteriormente será exactamente 3 m / s.
Puntos clave
En conclusión, repasemos una vez más el momento más importante de la tarea de hoy, a saber, de acuerdo con la regla de convertir la distancia en velocidad y aceleración. Entonces, si describimos directamente la ley en el problema que indica directamente la distancia desde el punto material hasta el punto de referencia, entonces a través de esta fórmula podemos encontrar cualquier velocidad instantánea (esto es solo una derivada). Además, también podemos encontrar aceleración. La aceleración, a su vez, es igual a la derivada de la velocidad, es decir. segunda derivada de la distancia. Tales tareas son bastante raras, por lo que hoy no las desmontamos. Pero si ve la palabra "aceleración" en la condición, no deje que lo asuste, solo busque otra derivada.
Espero que esta lección te ayude a prepararte para el examen de matemáticas.
