Funciones mutuamente inversas, definiciones básicas, propiedades, gráficos. Funciones inversas: definición y propiedades Funciones inversas, sus propiedades y ejemplos de gráficos

Dejemos que los conjuntos $ X $ y $ Y $ se incluyan en el conjunto de números reales. Introduzcamos el concepto de función invertible.

Definición 1

Una función $ f: X \ a Y $ que asigna el conjunto $ X $ al conjunto $ Y $ se llama invertible si para cualquier elemento $ x_1, x_2 \ in X $ del hecho de que $ x_1 \ ne x_2 $ se sigue que $ f (x_1) \ ne f (x_2) $.

Ahora podemos introducir el concepto de función inversa.

Definición 2

Deje que la función $ f: X \ a Y $ que mapea el conjunto $ X $ en el conjunto $ Y $ es invertible. Entonces la función $ f ^ (- 1): Y \ a X $ mapeando el conjunto $ Y $ en el conjunto $ X $ definido por la condición $ f ^ (- 1) \ left (y \ right) = x $ es llamado inverso para $ f (x) $.

Formulemos el teorema:

Teorema 1

Deje que la función $ y = f (x) $ se defina, monótonamente creciente (decreciente) y continua en algún intervalo $ X $. Luego, en el intervalo correspondiente $ Y $ de valores de esta función, tiene una función inversa, que también aumenta (disminuye) monótonamente y es continua en el intervalo $ Y $.

Introducimos ahora, directamente, el concepto de funciones mutuamente inversas.

Definición 3

Dentro del marco de la Definición 2, las funciones $ f (x) $ y $ f ^ (- 1) \ left (y \ right) $ se denominan funciones mutuamente inversas.

Propiedades de funciones mutuamente inversas

Sean las funciones $ y = f (x) $ y $ x = g (y) $ mutuamente inversas, entonces

$ y = f (g \ left (y \ right)) $ y $ x = g (f (x)) $

El dominio de la función $ y = f (x) $ es igual al dominio de la función $ \ x = g (y) $. Y el dominio de la función $ x = g (y) $ es igual al dominio de la función $ \ y = f (x) $.

Las gráficas de las funciones $ y = f (x) $ y $ x = g (y) $ son simétricas con respecto a la recta $ y = x $.

Si una de las funciones aumenta (disminuye), la otra función aumenta (disminuye).

Encontrar la función inversa

La ecuación $ y = f (x) $ se resuelve con respecto a la variable $ x $.

A partir de las raíces obtenidas, encuentre las que pertenecen al intervalo $ X $.

Los $ x $ encontrados se corresponden con el número $ y $.

Ejemplo 1

Encuentre la función inversa, para la función $ y = x ^ 2 $ en el intervalo $ X = [- 1,0] $

Dado que esta función disminuye y es continua en el intervalo $ X $, entonces en el intervalo $ Y = $, que también disminuye y es continua en este intervalo (Teorema 1).

Calculemos $ x $:

\ \

Elegimos el $ x $ apropiado:

Respuesta: función inversa $ y = - \ sqrt (x) $.

Encontrar funciones inversas

En esta parte, consideraremos funciones inversas para algunas funciones elementales. Resolveremos las tareas de acuerdo con el esquema dado anteriormente.

Ejemplo 2

Encuentre la función inversa para la función $ y = x + 4 $

Encuentre $ x $ de la ecuación $ y = x + 4 $:

Ejemplo 3

Hallar la inversa de la función $ y = x ^ 3 $

Solución.

Dado que la función es creciente y continua en todo el dominio de definición, entonces, según el Teorema 1, tiene una función inversa continua y creciente en ella.

Encuentre $ x $ de la ecuación $ y = x ^ 3 $:

Encuentre valores adecuados para $ x $

El valor en nuestro caso es adecuado (ya que el dominio de definición son todos los números)

Redefinimos las variables, obtenemos que la función inversa tiene la forma

Ejemplo 4

Encuentre la función inversa para la función $ y = cosx $ en el intervalo $$

Solución.

Considere la función $ y = cosx $ en el conjunto $ X = \ left $. Es continuo y decreciente en el conjunto $ X $ y asigna el conjunto $ X = \ left $ al conjunto $ Y = [- 1,1] $, por lo tanto, según el teorema de la existencia de una función monótona continua inversa para la función $ y = cosx $ en el conjunto $ Y $ hay una función inversa que también es continua y aumenta en el conjunto $ Y = [- 1,1] $ y asigna el conjunto $ [- 1,1] $ a el conjunto $ \ left $.

Encuentre $ x $ de la ecuación $ y = cosx $:

Encuentre valores adecuados para $ x $

Redefinimos las variables, obtenemos que la función inversa tiene la forma

Ejemplo 5

Encuentre la función inversa para la función $ y = tgx $ en el intervalo $ \ left (- \ frac (\ pi) (2), \ frac (\ pi) (2) \ right) $.

Solución.

Considere la función $ y = tgx $ en el conjunto $ X = \ left (- \ frac (\ pi) (2), \ frac (\ pi) (2) \ right) $. Es continuo y creciente en el conjunto $ X $ y mapea el conjunto $ X = \ left (- \ frac (\ pi) (2), \ frac (\ pi) (2) \ right) $ en el conjunto $ Y = R $, por tanto, por el teorema de la existencia de una función monótona continua inversa, la función $ y = tgx $ en el conjunto $ Y $ tiene una función inversa que también es continua y aumenta en el conjunto $ Y = R $ y asigna el conjunto $ R $ al conjunto $ \ left (- \ frac (\ pi) (2), \ frac (\ pi) (2) \ right) $

Encuentre $ x $ a partir de la ecuación $ y = tgx $:

Encuentre valores adecuados para $ x $

Redefinimos las variables, obtenemos que la función inversa tiene la forma

Supongamos que tenemos alguna función y = f (x), que es estrictamente monótona (decreciente o creciente) y continua en el dominio de definición x ∈ a; B; el rango de sus valores y ∈ c; d, y en el intervalo c; d en este caso, tendremos una función x = g (y) con un rango de valores a; B. La segunda función también será continua y estrictamente monótona. Con respecto a y = f (x), será la función inversa. Es decir, podemos hablar de la función inversa x = g (y) cuando y = f (x) en un intervalo dado disminuirá o aumentará.

Estas dos funciones, f y g, serán mutuamente inversas.

¿Por qué necesitamos el concepto de funciones inversas?

Necesitamos esto para resolver las ecuaciones y = f (x), que se escriben simplemente usando estas expresiones.

Digamos que necesitamos encontrar una solución a la ecuación cos (x) = 1 3. Sus soluciones son todas puntos: x = ± a rc c o s 1 3 + 2 π k, k ∈ Z

Inversamente entre sí serán, por ejemplo, las funciones arcocoseno y coseno.

Examinemos varios problemas para encontrar las funciones inversas de las dadas.

Ejemplo 1

Condición:¿Qué función será inversa para y = 3 x + 2?

Solución

El rango de definiciones y el rango de valores de la función especificada en la condición es el conjunto de todos los números reales. Intentemos resolver esta ecuación en términos de x, es decir, expresando x en términos de y.

Obtenemos x = 1 3 y - 2 3. Esta es la función inversa que necesitamos, pero aquí y será un argumento y x será una función. Reorganicémoslos para obtener una forma de notación más familiar:

Respuesta: la función y = 1 3 x - 2 3 será inversa para y = 3 x + 2.

Ambas funciones mutuamente inversas se pueden representar de la siguiente manera:

Vemos la simetría de ambas gráficas en relación con y = x. Esta línea es la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Hemos obtenido una prueba de una de las propiedades de funciones mutuamente inversas, que discutiremos a continuación.

Tome un ejemplo en el que necesita encontrar la inversa de una función logarítmica exponencial dada.

Ejemplo 2

Condición: determine qué función será inversa para y = 2 x.

Solución

Para una función dada, el alcance son todos números reales. El rango de valores se encuentra en el intervalo 0; + ∞. Ahora necesitamos expresar x en términos de y, es decir, resolver la ecuación especificada en términos de x. Obtenemos x = log 2 y. Reorganice las variables y obtenga y = log 2 x.

Como resultado, tenemos funciones exponenciales y logarítmicas que serán mutuamente inversas entre sí en todo el dominio de definición.

Respuesta: y = log 2 x.

En el gráfico, ambas funciones se verán así:



Propiedades básicas de funciones mutuamente inversas

En esta subsección, enumeramos las propiedades principales de las funciones y = f (x) y x = g (y), que son mutuamente inversas.

Definición 1

1. Ya hemos deducido la primera propiedad anteriormente: y = f (g (y)) y x = g (f (x)).
2. La segunda propiedad se deriva de la primera: el dominio de definición y = f (x) coincidirá con el rango de valores de la función inversa x = g (y), y viceversa.
3. Las gráficas de funciones que son inversas serán simétricas con respecto a y = x.
4. Si y = f (x) está aumentando, entonces x = g (y) también aumentará, y si y = f (x) está disminuyendo, entonces x = g (y) también disminuirá.

Le recomendamos que considere cuidadosamente los conceptos de dominio de definición y dominio de significado de funciones y nunca los confunda. Suponga que tenemos dos funciones mutuamente inversas y = f (x) = a x y x = g (y) = log a y. Según la primera propiedad, y = f (g (y)) = a log a y. Esta igualdad será cierta solo en el caso de valores positivos de y, y para valores negativos el logaritmo no está definido, así que no se apresure a escribir que a log a y = y. Asegúrese de verificar y agregar que esto solo es cierto si y es positivo.

Pero la igualdad x = f (g (x)) = log a a x = x será verdadera para cualquier valor real de x.

No te olvides de este punto, especialmente si tienes que trabajar con funciones trigonométricas y trigonométricas inversas. Entonces, a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3, porque el rango de valores del arcoseno es π 2; π 2 y 7 π 3 no está incluido en él. La entrada será correcta

a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = a r c sin sin π 3 = π 3

Pero sin a r c sin 1 3 = 1 3 es una verdadera igualdad, es decir sin (a r c sin x) = x para x ∈ - 1; 1 y a r c sin (sin x) = x para x ∈ - π 2; π 2. ¡Siempre tenga cuidado con el alcance y el alcance de las funciones inversas!

• Funciones básicas mutuamente inversas: potencia

Si tenemos una función de potencia y = x a, entonces para x> 0 la función de potencia x = y 1 a también será su inversa. Reemplace las letras y obtenga, respectivamente, y = x a y x = y 1 a.

En el gráfico, se verán así (casos con coeficiente positivo y negativo a):



• Funciones recíprocas básicas: exponencial y logarítmica

Tomemos a, que será un número positivo, no igual a 1.

Gráficos para funciones con a> 1 y a< 1 будут выглядеть так:



• Funciones básicas mutuamente inversas: trigonométrica y trigonométrica inversa

Si necesitamos trazar la rama principal del seno y el arcoseno, se verá así (mostrado por el área resaltada resaltada).

Definición de la función inversa.

Deje que la función sea estrictamente monótona (creciente o decreciente) y continua en el dominio, el rango de valores de esta función, entonces se define una función continua estrictamente monótona con el rango de valores en el intervalo, que es inverso para .

En otras palabras, tiene sentido hablar de la función inversa para una función en un intervalo específico si aumenta o disminuye en este intervalo.

Funciones f y g se llaman mutuamente inversos.

¿Por qué considerar el concepto de funciones inversas?

Esto se debe al problema de resolver ecuaciones. Las soluciones se escriben usando funciones inversas.

Ejemplos de búsqueda de funciones recíprocas.

Por ejemplo, quieres resolver una ecuación.

Las soluciones son puntos .

Las funciones coseno y coseno inverso son simplemente inversas en el dominio de definición.

Considerar algunos ejemplos de encontrar funciones inversas.

Comencemos con funciones recíprocas lineales.

Ejemplo.

Solución.

El dominio de definición y el rango de valores de esta función es el conjunto completo de números reales. Expresemos x en términos de y (en otras palabras, resuelva la ecuación para x).

Esta es la función inversa, aunque aquí y es un argumento y x es una función de este argumento. Para no romper los hábitos en notación (esto no importa en principio), reordenando las letras xey, escribiremos.

Por tanto, y son funciones mutuamente inversas.

Démosle una ilustración gráfica de funciones lineales mutuamente inversas.


Obviamente, las gráficas son simétricas con respecto a la recta y = x (bisectrices del primer y tercer cuadrantes). Ésta es una de las propiedades de las funciones mutuamente inversas, que se discutirá a continuación.

Ahora consideremos un ejemplo de cómo encontrar la función logarítmica inversa a una función exponencial dada.

Ejemplo.

Encuentra la función inversa para.

Solución.

El dominio de esta función es el conjunto completo de números reales, el dominio es el intervalo. Expresemos x en términos de y (en otras palabras, resuelva la ecuación para x).

Esta es la función inversa. Reordenando las letras xey, tenemos.

Por tanto, y - las funciones exponenciales y logarítmicas son funciones mutuamente inversas en el dominio de definición.

Gráfico de funciones recíprocas exponenciales y logarítmicas.


Propiedades de funciones mutuamente inversas.

Enumeramos propiedades de funciones mutuamente inversas y .

Nota de propiedad 1).

Por ejemplo: y - funciones mutuamente inversas. Por la primera propiedad, tenemos ... Esta igualdad es cierta solo para y positiva; para y negativa, el logaritmo no está definido. Así que no se apresure con las entradas del formulario, y si ya ha escrito de esa manera, entonces debería agregar la frase " para positivo y».

La igualdad, a su vez, es verdadera para cualquier x real.

Esperamos que haya captado este punto sutil.

Debe tener especial cuidado con las funciones trigonométricas y trigonométricas inversas.

Por ejemplo, , ya que el rango de valores del arcoseno, y no cae dentro de él.

Estará bien


En turno hay una verdadera igualdad.

Es decir en y en .

Destacamos una vez más: ¡CUIDADO CON EL ÁREA DE DEFINICIÓN Y EL ÁREA DE VALORES!

Gráficos de funciones elementales básicas mutuamente inversas.

Si necesita funciones inversas para ramas de funciones trigonométricas distintas de las principales, entonces la función trigonométrica inversa correspondiente deberá desplazarse a lo largo del eje de ordenadas el número requerido de períodos.

Por ejemplo, si necesita una función inversa para la rama tangente en el intervalo (esta rama se obtiene de la rama principal mediante un desplazamiento a lo largo del eje x), entonces será la rama arcangente desplazada a lo largo del eje oy en.


Por ahora, terminemos con las funciones inversas.

Bibliografía.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. y otros Álgebra y el comienzo del análisis: Libro de texto. por 10-11 cl. instituciones de educación general.

Expresiones coincidentes que se transforman entre sí. Para comprender lo que esto significa, vale la pena mirar un ejemplo específico. Supongamos que tenemos y = cos (x). Si toma el coseno del argumento, puede encontrar el valor de y. Obviamente, necesitas tener una X para esto. Pero, ¿y si el juego se regalara originalmente? Aquí es donde llega el meollo del asunto. Para resolver el problema, se requiere el uso de una función inversa. En nuestro caso, este es el coseno inverso.

Después de todas las transformaciones obtenemos: x = arccos (y).

Es decir, para encontrar la inversa de una función dada, es suficiente simplemente expresar un argumento a partir de ella. Pero esto solo funciona si el resultado obtenido tiene un solo significado (más sobre eso más adelante).

En general, puede escribir este hecho de la siguiente manera: f (x) = y, g (y) = x.

Definición

Sea f una función cuyo dominio de definición es el conjunto X, y el rango de valores es el conjunto Y. Entonces, si existe g cuyos dominios realizan tareas opuestas, entonces f es reversible.

Además, en este caso g es único, lo que significa que hay exactamente una función que satisface esta propiedad (ni más ni menos). Entonces se llama función inversa, y por escrito se denota de la siguiente manera: g (x) = f -1 (x).

En otras palabras, se pueden considerar como una relación binaria. La reversibilidad tiene lugar solo cuando un elemento del conjunto corresponde a un valor de otro.

La función inversa no siempre existe. Para esto, cada elemento y є Y debe corresponder como máximo a uno x є X. Entonces f se llama uno a uno o inyección. Si f -1 pertenece a Y, entonces cada elemento de este conjunto debe corresponder a alguna x ∈ X. Las funciones con esta propiedad se denominan sobreyecciones. Se realiza por definición si Y es la imagen de f, pero no siempre es así. Para invertir, una función debe ser tanto de inyección como de sobreyección. Estas expresiones se denominan biyecciones.

Ejemplo: funciones cuadradas y raíz

La función se define en

E (y) = [-π / 2; π / 2]

y (-x) = arcsin (-x) = - arcsin x - la función es impar, la gráfica es simétrica con respecto al punto O (0; 0).

arcosen x = 0 en x = 0.

arcosen x> 0 para x є (0; 1]

arcos en x< 0 при х є [-1;0)

y = arcosen x aumenta para cualquier x є [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcos en x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

Arccosine

La función coseno disminuye en el segmento y toma todos los valores de -1 a 1. Por lo tanto, para cualquier número a, tal que | a | 1, en el segmento hay una sola raíz en la ecuación cosx = a. Este número se llama coseno inverso del número ay se denota por arcos a.

Definición . El arcocoseno de un número a, donde -1 a 1, es un número de un segmento cuyo coseno es igual a a.

Propiedades.

1. E (y) =

   y (-x) = arccos (-x) = π - arccos x - la función no es ni par ni impar.

   arccos x = 0 en x = 1

   arccos x> 0 para x є [-1; 1)

arccos x< 0 – нет решений

y = arccos x disminuye para cualquier x є [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin х 1 ≥ arcsin х 2 - decreciente.

Arctangent

La función tangente aumenta en el segmento -
, por lo tanto, según el teorema de la raíz, la ecuación tanx = a, donde a es cualquier número real, tiene una raíz única x en el intervalo -. Esta raíz se llama arcotangente del número ay se denota por arctga.

Definición. El arcangente del número aR se llama tal número x , cuya tangente es a.

Propiedades.

E (y) = (-π / 2; π / 2)

y (-x) = y = arctan (-x) = - arctan x - la función es impar, la gráfica es simétrica con respecto al punto O (0; 0).

arctan x = 0 en x = 0

La función aumenta para cualquier x є R

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2

Arccotangente

La función cotangente en el intervalo (0;) disminuye y toma todos los valores de R. Por lo tanto, para cualquier número a en el intervalo (0;) hay una raíz única de la ecuación ctg x = a. Este número a se llama arco cotangente del número ay se denota por arcctg a.

Definición. El arco cotangente del número a, donde a R, es un número del intervalo (0;) , cuya cotangente es a.

Propiedades.

E (y) = (0; π)

y (-x) = arcctg (-x) = π - arcctg x - la función no es ni par ni impar.

arcctg x = 0- no existe.

Función y = arcctg x disminuye para cualquier x є R

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2

La función es continua para cualquier x є R.

2.3 Transformaciones idénticas de expresiones que contienen funciones trigonométricas inversas

Ejemplo 1. Simplifica la expresión:

a)
donde

Solución. Nosotros ponemos
... Entonces
y
Encontrar
, usamos la relación
Obtenemos
Pero . En este segmento, el coseno solo toma valores positivos. De este modo,
, es decir
donde
.

B)

Solución.

v)

Solución. Nosotros ponemos
... Entonces
y
Primero encontremos, para lo cual usamos la fórmula
, donde
Dado que en este intervalo el coseno toma solo valores positivos, entonces
.